bzoj1043[HAOI2008]下落的圆盘 计算几何

Posted 2020-10-02 GXZlegend

题目描述

有n个圆盘从天而降，后面落下的可以盖住前面的。求最后形成的封闭区域的周长。看下面这副图, 所有的红色线条的总长度即为所求.

输入

第一行为1个整数n,N<=1000
接下来n行每行3个实数,ri,xi,yi,表示下落时第i个圆盘的半径和圆心坐标.

输出

最后的周长，保留三位小数

样例输入

2
1 0 0
1 1 0

样例输出

10.472

---

题解

计算几何

考虑从下到上的每一个圆，它被其它的圆覆盖了多少。即考虑它被覆盖了多少弧度。

考虑两个圆，如果相离则不覆盖，内含判断一下包含关系。

如果它们相交，则两个半径和圆心连线形成了一个三角形，使用余弦定理$a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$可以求出交点与圆心连线的夹角，再用$atan2$求出极角，极角加减夹角即为覆盖弧度。

得到所有覆盖弧度范围后排序，求区间覆盖即可。

注意一下覆盖弧度范围跨越0和2π的处理。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 1010
#define squ(x) ((x) * (x))
using namespace std;
const double pi = acos(-1);
struct data
{
    double pl , pr;
    bool operator<(const data &a)const {return pl < a.pl;}
}a[N << 1];
double x[N] , y[N] , r[N];
int tot;
int main()
{
    int n , i , j;
    double afa , beta , d , last , ans = 0;
    scanf("%d" , &n);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lf%lf%lf" , &r[i] , &x[i] , &y[i]);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    {
        ans += 2 * pi * r[i];
        tot = 0;
        for(j = i + 1 ; j <= n ; j ++ )
        {
            tot ++ , d = squ(x[i] - x[j]) + squ(y[i] - y[j]);
            if(squ(r[i] + r[j]) <= d) a[tot].pl = a[tot].pr = 0;
            else if(squ(r[i] - r[j]) >= d)
            {
                if(r[i] > r[j]) a[tot].pl = a[tot].pr = 0;
                else a[tot].pl = 0 , a[tot].pr = 2 * pi;
            }
            else
            {
                afa = acos((r[i] * r[i] + d - r[j] * r[j]) / (2 * r[i] * sqrt(d)));
                beta = atan2(y[j] - y[i] , x[j] - x[i]);
                if(beta < 0) beta += 2 * pi;
                a[tot].pl = beta - afa , a[tot].pr = beta + afa;
                if(a[tot].pl < 0) tot ++ , a[tot].pl = a[tot - 1].pl + 2 * pi , a[tot - 1].pl = 0 , a[tot].pr = 2 * pi;
                else if(a[tot].pr > 2 * pi) tot ++ , a[tot].pr = a[tot - 1].pr - 2 * pi , a[tot - 1].pr = 2 * pi , a[tot].pl = 0;
            }
        }
        sort(a + 1 , a + tot + 1);
        last = -1;
        for(j = 1 ; j <= tot ; j ++ )
        {
            if(a[j].pr <= last) continue;
            if(a[j].pl > last) ans -= (a[j].pr - a[j].pl) * r[i];
            else ans -= (a[j].pr - last) * r[i];
            last = a[j].pr;
        }
    }
    printf("%.3lf\n" , ans);
    return 0;
}