[动态规划]数字三角形

Posted 2020-10-02

动态规划一直是一个很头疼的问题啊。

最近在看这方面的东西，记录一下刘汝佳书里的动态规划章节里的数字三角形题目。

这道题很基础，但总结的三个动态规划很清晰。

有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数，形如：
               1
            3    2
          4   10   1
        4   3    2   20
每个结点都可到它左右子结点，例如3可以到4也可以到10.
从第一行开始每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下，把沿途结点的值相加，如何走才能得到最大值。

如果遍历的话，n层会有2的n次方种可能性，显然规模太大。所以换一种思路。
其实最难的是跨出第一步，也就是在结点1，是要向左走还是向右走。因此对于1来讲，如果它能够知道向左跟向右现在的值是多少，它就可以迈出第一步。

我们用i,j表示第i层第j个结点

因此就有 d(i,j)=value(i,j)+max{d(i+1,j),d(i+1,j+1)}

这就是这道题的状态转移方程。

算法1：递归

int d (int i,int j){
    return a[i][j] + (i==n?0 : d(i+1,j)>?d(i+1,j+1));
}

嗯。。思路很直接。。语法很简练。。就是耗时会很长，而且层数一多可能就栈溢出了。

算法2：递推

int i,j;
for(j=1;j<=n;j++) d[n][j]=a[n][j];
for(i=n-1;i>=1;i++)
    for(j=1;j<=i;j++)
        d[i][j]=a[i][j]+d[i+1][j]>?d[i+1][j+1];

用二维数组d[i][j]保存状态，用递推的方法从i=1开始，因此当计算d(i,j)需要d(i-1,j) 和d(i-1,j+1)时这两个状态已经计算好了。

算法3：记忆化搜索

int d(int i,int j){
    if(d[i][j]>=0) return d[i][j];
    return a[i][j]=a[i][j]+(i==n?0:d(i+1,j)>?d(i+1,j+1);

这是对算法1的改进，算法1没有对状态进行保存，这里借用d[i][j]来保存状态，并且用 -1 来表示d[i][j]状态还没有被计算过，因此当>=0时就可以直接返回。