二分图中对最小顶点覆盖最小边覆盖最大独立集的理解[转]

Posted 2020-10-02

原贴链接：http://blog.csdn.net/flynn_curry/article/details/52966283

仅仅用于自己理解，若有共鸣，别太吐槽就行哈~

 

首先是匈牙利算法的本质：(图参考了zxy的)

 

这个图要详细看完，那么刚开始我想的“找小三”实际上就是递归找增广路的过程，如果找到增广路，匹配数就一定可以加一。(代码就不上了，都是一个模板)

 

理解到这里其实才只是个开始，我想解决的是最大匹配与最小顶点覆盖数、最小边覆盖数、最大点独立集之间的关系是怎么得来的。首先是结论：

在任意图中：(《挑战》里的结论)
(a)、对于不存在孤立点的图，最大匹配+最小边覆盖=顶点数；
(b)、最大独立集+最小顶点覆盖=顶点数；
二分图中：
(c)、最大匹配=最小顶点覆盖。

 

然后是概念：(参考ACdreamer)

最大匹配：二分图中边集的数目最大的那个匹配；

最小顶点覆盖：用最少的点，让每条边都至少和其中一个点关联；

最小边覆盖：用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点；

最大独立集：在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边的点中，m的最大值。

 

任意图中的np难题这里不考虑，所以所有模型我们只考虑二分图。这里参考了这篇文章。

 

1、二分图中最小顶点覆盖等于最大匹配数
最小顶点覆盖：实质是个点集，点集里面的点能覆盖所有的边，最小顶点覆盖就是满足这个要求的点集中点数最小的那个。

 

证明(是我的个人理解，其实是我没看懂别人的= =)：首先，最小顶点覆盖一定>=最大匹配，因为假设最大匹配为n，那么我们就得到了n条互不相邻的边，光覆盖这些边就要用到n个点。(参考金海峰，按照人家的思路来，省的别人说我这是瞎蒙的)这里事实上就可以看出最小顶点覆盖和最大匹配的不同了，最大匹配的点一定是两两成对的，而最小顶点覆盖还有相对孤立的点。注意是相对孤立，并不是他们之间肯定没有边，而是不属于匹配范围内的。那么匹配范围外的节点，一种就是有边和匹配范围内元素相连但是没有匹配到，一种就是没边。

有边的话这个边就连在了匹配范围内，那这个顶点覆盖代表元素就是既可以连接上匹配元素，又可以连接到非匹配元素，相当于这个非匹配范围内的元素被这个“特殊顶点”覆盖，最小顶点覆盖数并没有增加；

那么完全没边的孤立节点呢？好嘞，最小点集覆盖目的就是要覆盖所有的边，既然这个节点没有边相连，那还要你干毛？滚吧。这样依然没有影响最小顶点覆盖数。

至此，匹配范围外的所有节点都不可能影响到最小顶点覆盖数，所以两者完全相等。

 

2、二分图中最小边覆盖=顶点数-最小顶点覆盖（最大匹配）
最小边覆盖：实质是个边集，这个集合里的边能覆盖所有的点，最小边覆盖是满足这个要求的所有边集中边数最少的一个。

 

这里顶点数等于总的顶点数，是二分图两边的顶点数，不是一边。

证明：(这里我看懂了该博客，所以直接贴上他的思路)设最大匹配数为m，总顶点数为n。为了使边数最少，又因为一条边最多能干掉两个点，所以尽量用边干掉两个点。也就是取有匹配的那些边，当然这些边是越多越好，那就是最大匹配了，所以先用最大匹配数目的边干掉大多数点。剩下的解决没有被匹配的点，就只能一条边干掉一个点了，设这些数目为a，显然，2m+a=n，而最小边覆盖=m+a，所以最小边覆盖=（2m+a）-m=n-m。

 

3、二分图中最大独立集+最小顶点覆盖（最大匹配）=顶点数

最大独立集：实质是个点集，这个集合里的点无论怎样都两两相连不到一起，满足这个要求的点数最少的一个。

 

证明：这个最好理解了，既然最小顶点覆盖就是最大匹配的那些顶点，那么剩下的节点就是相对孤立的点。而这些相对孤立的点两两肯定没有边(若有边，匹配数就该加一了，也就是这两点是匹配点)，不就是最大独立集吗？那这样所有的点就都考虑到了，两者一加就变成了所有顶点数。

 

 

ps:

其实本来我是不想写的，大家也看到这里面好多别人的见解。但是只是想让自己理清一下思路，至少写了这篇不会再对那些结论一脸懵逼地用了。第一次自己这样整理文章，如有不足请提出，我会尽量改正。

 

这些概念都清楚就可以去切水题了，那些题基本就改个输入输出= =，不过好歹水几道高潮一下还是可以的ahhh~