微表面分布函数（Microfacet Distribution Function）确切含义

Posted 2020-10-02 wantnon

 

《Physically-Based Shading Models in Film and Game Production》中说：“D()的值不局限于0到1，可以任意大”，这句话使我比较好奇D()的确切含义。

以下引自《Physically-Based Shading Models in Film and Game Production》：

（http://renderwonk.com/publications/s2010-shading-course/hoffman/s2010_physically_based_shading_hoffman_a_notes.pdf）

然后在pbrt中找到了关于D的一些描述：

 

以下摘自pbrt p537~538:

 

根据

可以领会出D的确切含义。

可以把D看作是一个画在半球上的分布表，它是这样制作做出来的：

取单位面积宏表面，统计其上的微表面面积分布情况，

将单位半球面分割成无限多个面积无限小的球面元，

设中心方向为w的球面元为s(w)，其面积为ds，

s(w)覆盖包含w在内的一簇方向，

设以这簇方向为法向的所有微表面面积之和为A(w)，

则A(w)在s(w)上的密度为A(w)/ds。

将此密度值填写到球面元s(w)上，半球面表格D就制作成功了。

普通表格都是画在平面纸上，而此表格画面半球面上。

根据上面表格D的制作过程，便可很清楚地看出分布D的确切含义：

D(w)表示：单位宏表面上，法线落在方向为w的微分立体角dw内的微表面总面积与dw的商。

因此D(w)*dw表示单位宏表面上法线落在微分立体角dw内的微表面总面积。

设theta为w与宏表面法线的夹角，根据几何关系易知法向为w的微表面与宏表面之间的夹角也为theta。

于是D(w)*dw*cos(theta)表示：单位宏表面上法线落在微分立体角dw内的微表面总面积在宏表面上的投影。

由于各方向的微表面在宏表面上投影总和恰好覆盖宏表面，所以

D(w)*dw*cos(theta)在半球上的积分应等于宏表面的面积，由于这里我们取的是单位宏表面，所以面积为1，即：