HDU3306—Another kind of Fibonacci

Posted 2020-10-02 xiaowuga

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3306

题目意思：一个斐波那契数列的变式，本来是A[n]=A[n-1]+A[n-2]，现在变成A[n]=N*A[n-1]+Y*A[n-2]。一个很简单的矩阵快速幂。 S(N) = A(0)² +A(1)²+……+A(n)²对系数矩阵稍微变化一下就可以了。唯一需要注意的是N和Y可能很大，所以需要先mod一下。

思路：首先先求A[n]^2，因为A[n]=N*A[n-1]+Y*A[n-2]，所以A[n]^2=（N*A[n-1]）^2+（Y*A[n-2]）^2=N^2*A[n-1]^2+Y^2*A[n-2]^2+2NY*A[n-1]*A[n-2]。然后我们可以构造矩阵，求前n项和。

        |1       0      0     0|

        |x*x  x*x    1     x|

  A=  |y*y  y*y    0     0|

        |2xy  2xy    0     y|

以上为系数矩阵

代码：

 1 //Author: xiaowuga
 2 #include <bits/stdc++.h>
 3 #define maxx INT_MAX
 4 #define minn INT_MIN
 5 #define inf 0x3f3f3f3f
 6 #define size 4
 7 #define MOD 10007
 8 using namespace std;
 9 typedef long long ll;
10 struct Matrix{
11     ll mat[4][4];
12     void clear(){
13         memset(mat,0,sizeof(mat));
14     }
15     Matrix operator * (const Matrix & m) const{
16         Matrix tmp;
17         for(int i=0;i<size;i++)
18             for(int j=0;j<size;j++){
19                 tmp.mat[i][j]=0;
20                 for(int k=0;k<size;k++){
21                     tmp.mat[i][j]+=mat[i][k]*m.mat[k][j]%MOD;
22                     tmp.mat[i][j]%=MOD;
23                 }
24             }
25         return tmp;
26     }
27 };
28 Matrix POW(Matrix m,ll k){
29     Matrix ans;
30     ans.clear();
31     for(int i=0;i<size;i++) ans.mat[i][i]=1;
32     while(k){
33         if(k&1) ans=ans*m;
34         k/=2;
35         m=m*m;
36     }
37     return ans;
38 }
39 int main() {
40     ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
41     ll n,x,y;
42     while(cin>>n>>x>>y){
43         Matrix m;
44         m.clear();
45         m.mat[0][0]=m.mat[3][0]=(x%MOD)*(x%MOD)%MOD;
46         m.mat[0][1]=m.mat[3][1]=(y%MOD)*(y%MOD)%MOD;
47         m.mat[0][2]=m.mat[3][2]=(2*x%MOD)*(y%MOD)%MOD;
48         m.mat[1][0]=m.mat[3][3]=1;
49         m.mat[2][0]=x%MOD;m.mat[2][2]=y%MOD;
50         ll f[4]={1,1,1,2};
51         Matrix ans=POW(m,n-1);
52         ll sum=0;
53         for(int i=0;i<4;i++){
54             sum=(sum+ans.mat[3][i]*f[i])%MOD;
55         }
56         cout<<sum<<endl;
57     }
58     return 0;
59 }

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