专题偏序，扫描线

Posted 2020-10-02 ONION_CYC

【关键字】偏序，数点，树状数组，线段树，扫描线。

因为涉及多种算法，所以整合到一起。

【扫描线】

二维数点，偏序

★数点问题

★关于偏序问题的一些总结

扫描线是一维离线的做法的统称，常用于解决k维偏序问题。

离线：将其中一维的询问排序后按顺序处理，从而实现按时间顺序处理的过程中可以O(1)统计空间上小于某个数字的答案。

将一维离线称为扫描线，就是因为离线的那维处理过程很像一条线按顺序扫描。

偏序：以二维偏序为例，对于任意(x,y)，必须满足x<=A&&y<=B，也就是有两个单向限制，则是二维偏序。

扫描线解决k维偏序问题是经典中的经典。

一维偏序：排序扫描线　　树状数组

二维偏序：排序扫描线+树状数组(差分)/线段树

三维偏序：排序扫描线+cdq分治+树状数组　　排序扫描线+二维数据结构

数据结构实际上就是普通的处理一维，排序(离线)后按顺序就是用扫描线特殊的处理一维，k维中只有一维能使用扫描线。

一维用扫描线后，另一维用树状数组维护前缀和（包括前面行的，每个元素都代表一列），这就是典型的二维偏序问题解法了。

扫描线就是主要用于解决k维偏序问题的，而解决矩阵数点问题完全是利用偏序问题来解决的。

矩阵可以理解为四个限制（四位偏序），但是两维和另两维之间有直接关系，所以可以差分成四个二维偏序，这样就只要在二维偏序的时候两维分别差分即可。

例题：

★经典【STSRM13】绵津见 二维偏序，排序+树状数组

【BZOJ】1537: [POI2005]Aut- The Bus 排序+线段树

BZOJ 4822: [Cqoi2017]老C的任务 等待解决=v=

嗷嗷待补：

[BZOJ3161]布娃娃（扫描线+线段树）

BZOJ 4059 Cerc2012 Non-boring sequences 线段树+扫描线

矩阵面积并

hdu 1542 扫描线+线段树求矩阵面积并

线段树辅助——扫描线法计算矩形面积并

【链与反链】

引用自：最长反链与最小链覆盖 by vfleaking

大前提：在DAG上（有向无环图）

链是点的集合，这个集合中任意两点单向可达。

反链是点的集合，这个集合中任意两点互相不可达。

★最小链覆盖=最长反链

最小反链覆盖=最长链

经典模型：最少严格递减子序列覆盖=最长不严格递增子序列

　　　　　最少不严格递增子序列覆盖=最长严格递增子序列（链与反链的互补关系）

不严格证明：从二分n log n求LIS的过程中可以得到一组合法解。

二分求解LIS：从前往后每个数字在替换掉序列b中第一个>=它的数字（这个数字的位置就是f[i]），如果没有则加在末尾。

二分过程中一个位置当前和之间的所有数字组成一个不增子序列，位置总数就是最长上升子序列。

int k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x=lower_bound(b+1,b+k+1,a[i]+1)-b;
        f[i]=x;
        if(x==k+1)b[++k]=a[i];else b[x]=a[i];
    }

View Code

（顺便一提，LIS还可以写树状数组，查询值域前缀max，值域离散化——注意树状数组不能处理ai=0的情况，需整体+1）

这样替换的正确性在于：访问某位置时，其前面的位置一定存在数字在该位置之前（反证：若不存在，则一定会替换该位置），这样传递下去可以找到上升子序列。

最长上升子序列(LIS)本质上是二维偏序，要求满足a[i]<a[j]&&h[i]<h[j]的最长序列。

也可以视为二分图不交叉最大匹配(上帝选人)：一维排序（a[i]），一维可以树状数组维护DP，也可以二分。

链模型转化：对于所有满足满足a[i]<a[j]&&h[i]>h[j]的点i和点j连接有向边，最长链覆盖=最长反链。

NOIP 1999 导弹拦截

★【BZOJ】1143: [CTSC2008]祭祀river

最长链：偏序转化而来，参考LIS用DP+二分/树状数组。

链覆盖：floyd传递闭包(转化为可达信息)，转化为最小路径覆盖，ans=N-最大匹配(二分图)。