初等数学问题解答-9：恒等变形

Posted 2020-10-02 赵胤数学课

 

本题适合初一以上数学爱好者解答

 

问题：

若 $abc = -1$ 且 $\dfrac{a^2}{c} + \dfrac{b}{c^2} = 1$，求 $ab^5 + bc^5 + ca^5$ 的值。

 

解答一：

考虑消元，比如消去 $a$： $$\frac{a^2}{c} + \frac{b}{c^2} = 1$$ $$\Rightarrow \frac{1}{b^2c^3} + \frac{b}{c^2} = 1$$ $$\Rightarrow 1 + b^3c = b^2c^3.$$ 再来考虑待求的代数式：$$ab^5 + bc^5 + ca^5 = -\frac{b^5}{bc} + bc^5 - \frac{1}{b^5c^4}$$ $$= \frac{-b^9c^3 + b^6c^9 - 1}{b^5c^4}$$ $$= \frac{-b^9c^3 + \left(1 + b^3c\right)^3 - 1}{b^5c^4}$$ $$= \frac{3\cdot(b^3c + 1)}{b^2c^3} = 3.$$

 

解答二：

考虑辅助元，令 $a = -\dfrac{x}{y}$，$b = -\dfrac{y}{z}$，$c = -\dfrac{z}{x}$.

由已知可得 $$-\frac{x^3}{y^2z} - \frac{x^2y}{z^3} = 1 \Rightarrow x^3z^2 + x^2y^3 + y^2z^3 = 0.$$ 所求代数式为 $$ab^5 + bc^5 + ca^5 = \frac{xy^4}{z^5} + \frac{yz^4}{x^5} + \frac{zx^4}{y^5}$$ $$= \frac{x^6y^9 + y^6z^9 + z^6x^9}{x^5y^5z^5} = \frac{\left(x^3z^2\right)^3 + \left(y^3x^2\right)^3 + \left(z^3y^2\right)^3}{x^5y^5z^5}$$ $$= \frac{3\cdot x^3z^2\cdot y^3x^2 \cdot z^3y^2}{x^3z^2 \cdot y^3x^2 \cdot z^3y^2} = 3.$$ 最后一步使用了以下事实：

若 $a + b + c = 0$，则 $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.

 

 

作者简介：

赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，原北京四中数学竞赛教练员，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。

主要研究方向包括：数学建模（机器学习算法）与数学奥林匹克教育（解题研究与教学法），以第一作者身份发表英文论文5篇。

在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。

 

作者微信：zhaoyin0506