比记号 与 拓展比记号

Posted 2020-10-02

比记号

　　比记号 $[n]$ , 读作 "比n" .

　　　　$[n] = \left\{ \begin{aligned} & 1 & , n > 0 \\ & 0 & , n = 0 \\ & -1 & , n < 0 \end{aligned} \right.$ .

　　直观地刻画了 $n$ 的正负性.

 

　　定理1 (分拆定律)　　$[nm] = [n][m]$ .

　　推论1　　$[n] = [\frac{1}{n}]$ .

　　推论2　　$[x(a + b)] = [x][a + b]$ .

　　推论3　　$[\frac{n}{m}] = [n][m]$ .

 

拓展比记号

　　拓展比记号 $[n, m]$ , 读作 "n比m" .

　　　　$[n, m] = [n - m]$ .

　　直观地刻画了 $n$ 与 $m$ 的大小关系.

 

　　定理2(线性性质)

　　　　$[kn, km] = [k][n, m]$ .

　　　　$[n + k, m + k] = [n, m]$ .

　　我们可以基于这条性质, 实现同时增加或减去一个数, 或者同时乘或除一个数(通分, 约分).

 

应用

　　以一个例子来说明这种记号的简洁之处.

　　

　　从 A 行走到 B , 总路程为 2S , 有两种策略.

　　　　① 前一半的路程以 V1 的速度, 后一半的路程以 V2 的速度;

　　　　② 前一半的时间以 V1 的速度, 后一半的时间以 V2 的速度.

　　问哪种耗时少?

 

　　前一种耗时为 $\frac{2S}{V1 + V2}$ .

　　后一种耗时为 $\frac{S}{V1} + \frac{S}{V2}$ .

　　$$\begin{aligned} & [前一种耗时, 后一种耗时] \\ & = [\frac{2S}{V1 + V2}, \frac{S}{V1} + \frac{S}{V2}] \\ & = [\frac{1}{V1 + V2}, \frac{V1 + V2}{V1V2}] \\ & = [V1V2, {(V1 + V2)} ^ 2] \\ & = [-V1^2 - V1V2 - V2^2] = -1 \end{aligned}$$

　　所以 前一种耗时 < 后一种耗时 .