hdu 6088 Rikka with Rock-paper-scissors (2017 多校第五场 1004） 组合数学 + 数论 + 模意义下的FFT

Posted 2020-10-02 wy_2016

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首先利用组合数学知识，枚举两人的总胜场数容易得到

这还不是卷积的形式，直接搞的话复杂度大概是O(n^2)的，肯定会TLE。但似乎和卷积有点像？想半天没想出来。。多谢Q巨提醒，才知道可以用下面这个公式进行转化

 

 

 

最后，化得的公式为

另外注意，上式右边是一个卷积的形式，但是，所得和的第一项是不需要加上的（不过图中公式没有体现）。结合实际意义大概就是，i==0&&j==0时，gcd(i,j)不存在约数d，虽然0可以被任意正整数整除 & 第一项不为0

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef double db;
#define upmo(a,b) (((a)=((a)+(b))%mod)<0?(a)+=mod:(a))    // 相加后取模 

int n,mod;

namespace FFT_MO    //前面需要有 mod(1e8~1e9级别),upmo(a,b) 的定义 
{
    const int FFT_MAXN=1<<18;
    const db pi=3.14159265358979323846264338327950288L;
    struct cp
    {
        db a,b;
        cp(double a_=0,double b_=0)
        {
            a=a_,b=b_;
        }
        cp operator +(const cp&rhs)const
        {
            return cp(a+rhs.a,b+rhs.b);
        }
        cp operator -(const cp&rhs)const
        {
            return cp(a-rhs.a,b-rhs.b);
        }
        cp operator *(const cp&rhs)const
        {
            return cp(a*rhs.a-b*rhs.b,a*rhs.b+b*rhs.a);
        }
        cp operator !()const
        {
            return cp(a,-b);
        }
    }nw[FFT_MAXN+1],f[FFT_MAXN],g[FFT_MAXN],t[FFT_MAXN];    //a<->f,b<->g,t<~>c 
    int bitrev[FFT_MAXN]; 
    
    void fft_init()    //初始化 nw[],bitrev[] 
    {
        int L=0;while((1<<L)!=FFT_MAXN) L++;
        for(int i=1;i<FFT_MAXN;i++)  bitrev[i]=bitrev[i>>1]>>1|((i&1)<<(L-1));
        for(int i=0;i<=FFT_MAXN;i++) nw[i]=cp((db)cosl(2*pi/FFT_MAXN*i),(db)sinl(2*pi/FFT_MAXN*i));
    }
    
    // n已保证是2的整数次幂 
    // flag=1:DFT |  flag=-1: IDFT
    void dft(cp *a,int n,int flag=1)    
    {
        int d=0;while((1<<d)*n!=FFT_MAXN) d++;
        for(int i=0;i<n;i++) if(i<(bitrev[i]>>d))
            swap(a[i],a[bitrev[i]>>d]);    //    NOTICE!
        for(int l=2;l<=n;l<<=1)
        {
            int del=FFT_MAXN/l*flag;    // 决定 wn是在复平面是顺时针还是逆时针变化，以及变化间距 
            for(int i=0;i<n;i+=l) // ?????????????????
            {
                cp *le=a+i,*ri=a+i+(l>>1);    // ?????????????????
                cp *w=flag==1? nw:nw+FFT_MAXN;    // 确定wn的起点 
                for(int k=0;k<(l>>1);k++)
                {
                    cp ne=*ri * *w;
                    *ri=*le-ne,*le=*le+ne;
                    le++,ri++,w+=del;
                }
            }
        }
        if(flag!=1) for(int i=0;i<n;i++) a[i].a/=n,a[i].b/=n;
    }
    
    // convo(a,n,b,m,c) a[0..n]*b[0..m] -> c[0..n+m]
    void convo(LL *a,int n,LL *b,int m,LL *c)
    {
        for(int i=0;i<=n+m;i++) c[i]=0;
        int N=2;while(N<=n+m) N<<=1;    // N是c扩展后的长度 
        for(int i=0;i<N;i++)    //扩展 a[],b[] ，存入f[],g[]，注意取模 
        {
            LL aa=i<=n?a[i]:0,bb=i<=m? b[i]:0;     
            aa%=mod,bb%=mod;
            f[i]=cp(db(aa>>15),db(aa&32767));
            g[i]=cp(db(bb>>15),db(bb&32767));
        }
        dft(f,N),dft(g,N);
        for(int i=0;i<N;i++)    // 频域求积 // ?????????????????
        {
            int j=i? N-i:0;
            t[i]=((f[i]+!f[j])*(!g[j]-g[i])+(!f[j]-f[i])*(g[i]+!g[j]))*cp(0,0.25);
        }
        dft(t,N,-1);
        for(int i=0;i<=n+m;i++)    upmo(c[i],(LL(t[i].a+0.5))%mod<<15);
        for(int i=0;i<N;i++)    // 频域求积 // ?????????????????
        {
            int j=i? N-i:0;
            t[i]=(!f[j]-f[i])*(!g[j]-g[i])*cp(-0.25,0)+cp(0,0.25)*(f[i]+!f[j])*(g[i]+!g[j]);
        }
        dft(t,N,-1);
        for(int i=0;i<=n+m;i++)    upmo(c[i],LL(t[i].a+0.5)+(LL(t[i].b+0.5)%mod<<30));
    }
}

//==============预处理阶乘及阶乘逆元============== 

LL qpow(LL x,LL n)        //求x^n%mod
{
    LL ret=1;
    for(; n; n>>=1)
    {
        if(n&1) ret=ret*x%mod;
        x=x*x%mod;
    }
    return ret;
}
LL inv(LL x)
{
    return qpow(x,mod-2);
}
const LL M=1e5+5;
LL fac[M+5];            //阶乘
LL inv_of_fac[M+5];        //阶乘的逆元
void init_fac()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1; i<=M; i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv_of_fac[M]=qpow(fac[M],mod-2);
    for(int i=M-1; i>=0; i--)
        inv_of_fac[i]=inv_of_fac[i+1]*(i+1)%mod;
}
//================================================

//===================phi(x)打表===================

const int maxn=100007;
int phi[maxn+5];
void init_phi()
{
    memset(phi,0,sizeof(phi));  //初始化为0
    phi[1]=1;
    for(int i=2; i<=maxn; i++)
    {
        if(!phi[i])     //当i是质数时
            for(int j=i; j<=maxn; j+=i)      //筛选所有因子为i的数
            {
                if(!phi[j]) phi[j]=j;       //若未赋值过，先初始化
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);      //i是质因数(1-1/i)=(i-1)/i，先除再乘是为了防止越界。
            }
    }
}
//================================================

LL a[1<<18|1],b[1<<18|1],c[1<<18|1];

int main()
{
    init_phi();FFT_MO::fft_init();
    
    //=============debug==============
    
//    int n,m;
//    mod=1e9+7;
//    while(cin>>n>>m)
//    {
//        for(int i=0;i<=n;i++)    cin>>a[i];
//        for(int i=0;i<=m;i++)    cin>>b[i];
//        FFT_MO::convo(a,n,b,m,c);
//        for(int i=0;i<=n+m;i++)
//            cout<<c[i]<<\' \';
//        puts("");
//    }
    
    //================================
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&mod);
        init_fac();
        LL ans=0;
        for(int d=1;d<=n;d++)
        {
            int N=n/d;
            for(int i=0;i<=N;i++) a[i]=b[i]=inv_of_fac[i*d];
            FFT_MO::convo(a,N,b,N,c);
            LL temp=0;
            for(int i=1;i<=N;i++) temp=(temp+c[i]*inv_of_fac[n-i*d])%mod;
            ans=(ans+temp*phi[d])%mod;
        }
        ans=ans*fac[n]%mod*qpow(3,n)%mod;
        printf("%lld\\n",ans);
    }
}

 

关于模意义下的FFT