线段树の一 区间和

Posted 2020-10-02 Wider Gao

线段树の一 区间和

具体线段树讲解：（搬运）http://blog.csdn.net/zearot/article/details/48299459

一：线段树基本概念

1：概述

线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!

性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍

 

2：基本操作

线段树的主要操作有：

(1)：线段树的构造 void build(int node, int begin, int end);

主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值

(2)：区间查询int query(int node, int begin, int end, int left, int right);

（其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）

主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息

比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。但并不是所有的提问都这么容易回答，比如[0,3]，就没有哪一个节点记录了这个区间的最小值。当然，解决方法也不难找到：把[0,2]和[3,3]两个区间（它们在整数意义上是相连的两个区间）的最小值“合并”起来，也就是求这两个最小值的最小值，就能求出[0,3]范围的最小值。同理，对于其他询问的区间，也都可以找到若干个相连的区间，合并后可以得到询问的区间。

 

(3)：区间或节点的更新 及 线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）

动态维护需要用到标记域，延迟标记等。

a:单节点更新

b：区间更新（线段树中最有用的）

需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）

3:主要应用

(1)：区间最值查询问题 

(2)：连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 

(3)：多维空间的动态查询 

/*******************************
线段树V1.0
支持区间加、区间和查询
********************************/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1000010
using namespace std;
struct node
{
	int left;//节点所代表区间左端
	int right;//节点所代表区间右端
	long long sum;//区间和
	long long add;//Lazy标记
} tree[N];
long long a[N];

void Build_Tree(int left,int right,int node)//left:当前区间左端 right:当前区间右端 node:当前节点
{
	tree[node].left=left;
	tree[node].right=right;
	if(left==right) tree[node].sum=a[left];
	else
	{
		int mid=(left+right)>>1;
		Build_Tree(left,mid,node<<1);
		Build_Tree(mid+1,right,node<<1|1);
		tree[node].sum=tree[node<<1].sum+tree[node<<1|1].sum;
	}
}

void Push_Down(int node)//标记下放 node:当前节点
{
	if(tree[node].add==0) return;
	tree[node<<1].add+=tree[node].add;
	tree[node<<1|1].add+=tree[node].add;
	tree[node<<1].sum+=tree[node].add*(tree[node<<1].right-tree[node<<1].left+1);
	tree[node<<1|1].sum+=tree[node].add*(tree[node<<1|1].right-tree[node<<1|1].left+1);
	tree[node].add=0;
}

void Push_Up(int node)//上推 node:当前节点
{
	tree[node].sum=tree[node<<1].sum+tree[node<<1|1].sum;
}

void Add_Range(int left,int right,int node,long long value)//区间加操作 left:操作区间左端点 right:操作区间右端点 node:当前节点 value:操作值
{
	if(tree[node].left>=left&&tree[node].right<=right)
	{
		tree[node].add+=value;
		tree[node].sum+=value*(tree[node].right-tree[node].left+1);
		return;
	}
	Push_Down(node);
	int mid=(tree[node].left+tree[node].right)>>1;
	if(left<=mid) Add_Range(left,right,node<<1,value);
	if(right>mid) Add_Range(left,right,node<<1|1,value);
	Push_Up(node);
}

long long Query_Sum(int left,int right,int node)//区间和查询 left:查询区间左端点 right:查询区间右端点 node:当前节点
{
	if(tree[node].left>right||tree[node].right<left) 
	return 0;
	Push_Down(node);
	if(tree[node].left>=left&&tree[node].right<=right) 
	return tree[node].sum;
	return Query_Sum(left,right,node*2)+Query_Sum(left,right,node*2+1);
}

int main()
{
	int n,m;//n:区间大小 m:操作次数 
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
	Build_Tree(1,n,1);
	while(m--)
	{
		int x,y,c;
		cin>>c>>x>>y;
		if(c==2)//查询
			cout<<Query_Sum(x,y,1)<<endl;
		if(c==1)   //操作
		{
			long long v;
			cin>>v;
			Add_Range(x,y,1,v);
		}
	}
	return 0;
}