基础算法——广度优先搜索

Posted 2020-10-02

广度优先搜索（Breadth First Search），是很多重要的图的算法的原型。

 

重要的作用：遍历。对于图的遍历，一般有以下的基本思想：

①从图中某个顶点V0出发，并访问此顶点；

②从V0出发，访问V0的各个未曾访问的邻接点W1，W2，…,Wk;然后,依此从W1,W2,…,Wk

出发访问各自未被访问的邻接点。

③重复②，直到全部顶点都被访问为止。

 

【例】如图1-7，按照广度优先搜索的思想遍历这张图。

正确的方法应该是：

【例】编写“连连看”的简单程序

规则是：相连不超过两个弯的相同图形是可以消去的。

写这个程序的时候的基本步骤：

1. 判断是否能消去

2. 消去/不消去，提示信息

 

重点应用BFS的是在第一个步骤中：

①图形是否相等非常简单，只要判断该处元素的值即可；
②相连是否不超过两个弯，我们需要从中取一个结点为起始点，先拿到无须转弯就能到达的结点集合A，看目标结点是否在里面；如果不在，则需要对结点集合A中所有结点，拿到其无须转弯就能到达的结点（未在之前访问过），判断目标结点是否在内；如果不在，则继续扩展，这次如果再不在，说明两结点连接超过两个弯了，不满足。

【重点】广度优先的缺点是：有的时候耗时会很大，这时候可以使用哈希表进行优化。在此不会特别用到，故不再细述。广度优先搜索与深度有限搜索是两个相对的搜索方法。对于广度优先搜索，一般的最短路径会用到它。

 

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

【例】在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）例如图1-8所示：
第一步：先锁定一个点，这里我用A作为初始的；

第二步：先设A到所有的点的路径的长度为无穷大，然后按照图1-9的步骤一步一步做就可以得到答案。

回顾：这里面当选定一个点的时候，就对其可连接到的点进行BFS，所以当问题可以抽象成类似于这个样子就可以进行BFS进行查找答案（最短路径）。

这是我从博客园上找到的完整的解题思路供参考：

对于以下的无向图（图1-10）进行遍历

图1-10 无向图例题

解答过程见图1-11.

图1-11 图1-10的解答过程

下面是Floyd算法。

Floyd算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd算法的时间复杂度为O(N?)（有点费时间），空间复杂度为O(N?)。

以下的例题和解题过程来自博客园：

 

基本解题思路：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

 

对于这种题目，我们一般使用的是十字交叉法如图1-12：

图1-12 十字交叉法