由高度场求法线

Posted 2020-10-02 wantnon

设高度场由函数z=h(x,y)给出，则问题就是求此曲面的法线。

注：文中d代表偏导数。

方法一：

把z=h(x,y)看成山坡，则在点P(x,y)处，其爬坡方向由二维梯度给出

gradh=(dh/dx,dh/dy,0)。

（gradh在XY平面内，由低海拔指向高海拔）。

根据“梯度的模等于方向导数”有：

|gradh|=tan(theta)，theta为坡度角。

因为|gradh|=tan(theta)，所以若设up=(0,0,1)（即让up的模为1），则恰有-gradh+up=normal。如图：

于是就有normal=-gradh+up=-(dh/dx,dh/dy,0)+(0,0,1)=(-dh/dx,-dh/dy,1)。

注：可见，梯度是法线的投影的反方向。 

 

方法二：

构造三维标量场F(x,y,z)=h(x,y)-z。

则z=h(x,y)为F的0等值面（因为z=h(x,y)即F(x,y,z)=0）。

场F在点(x,y,z)处梯度为gradF=(dF/dx,dF/dy,dF/dz)=(dh/dx,dh/dy,-1)。

由于梯度必定垂直于等值面。

所以z=h(x,y)在点(x,y,z)处的法向量normal=gradF=(dh/dx,dh/dy,-1)。

 

注：

1，方法一 将高度场看作二维标量场（即每个二维点(x,y)对应一个标量值:高度h），利用二维标量场的梯度概念进行求解。方法二 将高度场看作一个三维标量场的等值面，利用三维标量场的梯度概念进行求解。可见两种方法得出的结果是一致的。

2，是取(-dh/dx,-dh/dy,1)还是取(dh/dx,dh/dy,-1)根据需求而定，如本文由高度场求法线这种用于图形学用途，显然是会取(-dh/dx,-dh/dy,1)，

3，以上两种方法都没有对结果进行归一化，在实际用于图形学时应进行归一化。

 

----补充：

方法三：

a=(dx,0,dh_x)

b=(0,dy,dh_y)

normal=normalize(axb)=normalize(-dh_x*dy,-dx*dh_y,dx*dy)=normalize(-dh/dx,-dh/dy,1)