HDU 2516 取石子游戏 （斐波那契博弈）

Posted 2020-10-02 午夜的行人

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2516

1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win". 

Input输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31. n=0退出. 
Output先取者负输出"Second win". 先取者胜输出"First win". 
参看Sample Output. 
Sample Input

2
13
10000
0

Sample Output

Second win
Second win
First win

题解：斐波那契博弈
（转）分析：      
n = 2时输出second；     
n = 3时也是输出second； 
n = 4时，第一个人想获胜就必须先拿1个，这时剩余的石子数为3，此时无论第二个人如何取，第一个人都能赢，输出first； 
n = 5时，first不可能获胜，因为他取2时，second直接取掉剩下的3个就会获胜，当他取1时，这样就变成了n为4的情形，所以输出的是second；   
n = 6时，first只要去掉1个，就可以让局势变成n为5的情形，所以输出的是first；      
n = 7时，first取掉2个，局势变成n为5的情形，故first赢，所以输出的是first；     
n = 8时，当first取1的时候，局势变为7的情形，第二个人可赢，first取2的时候，局势变成n为6得到情形，也是第二个人赢，取3的时候，second直接取掉剩下的5个，所以n = 8时，输出的是second；    
…………      
从上面的分析可以看出，n为2、3、5、8时，这些都是输出second，即必败点，仔细的人会发现这些满足斐波那契数的规律，可以推断13也是一个必败点。     
借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。n=12时，只要谁能使石子剩下8且此次取子没超过3就能获胜。因此可以把12看成8+4，把8看成一个站，等价与对4进行"气喘操作"。又如13，13=8+5，5本来就是必败态，得出13也是必败态。也就是说，只要是斐波那契数，都是必败点。
所以我们可以利用斐波那契数的公式：fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]，只要n是斐波那契数就输出second。

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 using namespace std;
 4 int f[50];
 5 void init()
 6 {
 7     f[1]=2,f[2]=3;
 8     for(int i=3;i<45;i++)
 9         f[i]=f[i-1]+f[i-2];
10 }
11 int main()
12 {
13     std::ios::sync_with_stdio(false);
14     int n;
15     init();
16     while(cin>>n&&n){
17         int flag=0;
18         for(int i=1;i<45;i++){
19             if(f[i]==n){
20                 flag=1;
21                 break;
22             }
23         }
24         if(flag) cout<<"Second win"<<endl;
25         else cout<<"First win"<<endl;
26     }
27     return 0;
28 }