洛谷——P1082 同余方程

Posted 2020-10-01

P1082 同余方程

题目描述

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

输入输出格式

输入格式：

 

输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。

 

输出格式：

 

输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

 

输入输出样例

输入样例#1：

3 10

输出样例#1：

7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,000；

对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000；

对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。

NOIP 2012 提高组 第二天 第一题

 

思路：

裸地扩展欧几里得

扩展欧几里得(求同余方程)
应用性质：
对于不完全为0的整数a，b存在a*x+b*y==gcd(a,b)
化简式子：
使a为两数中较大的数
当b==0时，gcd(a,b)==gcd(a,0)==a
所以当b==0时，x==1，y==0
同时，ax+by==gcd(a,b),bx1+a%by1==gcd(b,a%b)
所以，ax+by==bx1+(a-a/b*b)*y1;
ax+by==bx1+ay1-a/b*b*y1
ax+by==ay1+b(x1-a/b*y1)
即:
x==y1,y==x1-a/b*y1
由此可得出扩展欧几里得求x，y的递归式

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a,b,x,y,gcd;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y),tmp;
    tmp=x,x=y,y=tmp-a/b*y;
    return r;
}
int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1; ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘; ch=getchar();}
    return x*f;
}
int main()
{
    a=read(),b=read();
    gcd=exgcd(a,b,x,y);
    while(x<0)
     x+=(b/gcd);
    printf("%d",x);
    return 0;
}