COGS——T 1265. [NOIP2012] 同余方程

Posted 2020-10-01

http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=1265

★☆   输入文件：mod.in   输出文件：mod.out   简单对比
时间限制：1 s   内存限制：128 MB

【题目描述】

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

【输入格式】

输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。

【输出格式】

输出只有一行，包含一个正整数X0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

【样例输入】

3 10

【样例输出】

7

【数据范围】

对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,000； 

对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000； 

对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。

 

欧拉定理求解，要mod b才可以计算出最小值

欧拉定理：a ^φ(p) ≡ 1(mod p)   对于任意互质的 a,p 恒成立.  -->>a × a^( φ(p)−1) ≡ 1(mod p)

 1 #include <algorithm>
 2 #include <cstdio>
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 #define LL long long
 7 LL a,b;
 8 
 9 LL phi(LL x)
10 {
11     LL ret=1;
12     for(LL i=2;i*i<=x;i++)
13         if(x%i==0)
14         {
15             x/=i;
16             ret*=i-1;
17             for(;x%i==0;)
18                 ret*=i,x/=i;
19         }
20     if(x>1) ret*=x-1;
21     return ret;
22 }
23 LL Q_pow(LL a,LL b,LL mod)
24 {
25     LL ret=1,base=a;
26     for(;b;b>>=1)
27     {
28         if(1&b) ret=(ret*base)%mod;
29         base=(base*base)%mod;
30     }
31     return ret;
32 }
33 
34 int main()
35 {
36     freopen("mod.in","r",stdin);
37     freopen("mod.out","w",stdout);
38     
39     scanf("%lld%lld",&a,&b);
40     LL ans=Q_pow(a,phi(b)-1,b);
41     for(;ans<0;) ans+=b;
42     printf("%lld",ans);
43     return 0;
44 }