luoguP2148 [SDOI2009]E&D [sg函数][组合游戏]

Posted 2020-10-01 ZYBGMZL

题目描述

小E 与小W 进行一项名为“E&D”游戏。

游戏的规则如下： 桌子上有2n 堆石子，编号为1..2n。其中，为了方便起见，我们将第2k-1 堆与第2k 堆 （1 ≤ k ≤ n）视为同一组。第i堆的石子个数用一个正整数Si表示。 一次分割操作指的是，从桌子上任取一堆石子，将其移走。然后分割它同一组的另一堆 石子，从中取出若干个石子放在被移走的位置，组成新的一堆。操作完成后，所有堆的石子 数必须保证大于0。显然，被分割的一堆的石子数至少要为2。 两个人轮流进行分割操作。如果轮到某人进行操作时，所有堆的石子数均为1，则此时 没有石子可以操作，判此人输掉比赛。

小E 进行第一次分割。他想知道，是否存在某种策 略使得他一定能战胜小W。因此，他求助于小F，也就是你，请你告诉他是否存在必胜策略。 例如，假设初始时桌子上有4 堆石子，数量分别为1,2,3,1。小E可以选择移走第1堆， 然后将第2堆分割（只能分出1 个石子）。接下来，小W 只能选择移走第4 堆，然后将第3 堆分割为1 和2。最后轮到小E，他只能移走后两堆中数量为1 的一堆，将另一堆分割为1 和1。这样，轮到小W 时，所有堆的数量均为1，则他输掉了比赛。故小E 存在必胜策略。

输入输出格式

输入格式：

第一行是一个正整数T（T ≤ 20），表示测试数据数量。接下来有T组 数据。 对于每组数据，第一行是一个正整数N，表示桌子上共有N堆石子。其中，输入数据保 证N是偶数。 第二行有N个正整数S1..SN，分别表示每一堆的石子数。

输出格式：

包含T 行。对于每组数据，如果小E 必胜，则输出一行”YES”，否则 输出”NO”。

输入输出样例

输入样例#1：

2
4
1 2 3 1
6
1 1 1 1 1 1

输出样例#1：

YES
NO

【数据规模和约定】
对于20%的数据，N = 2；
对于另外20%的数据，N ≤ 4，Si ≤ 50；
对于100%的数据，N ≤ 2×104，Si ≤ 2×109。

---

应该一看就是求sg函数吧。。
首先是我打表sg函数的代码。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int maxn=1005;
 7 
 8 int T,n;
 9 int sg[maxn][maxn];
10 int S[100000005];
11 
12 void calc(int x,int y){
13     memset(S,0,sizeof S);
14     if(x>1)
15         for(int i=1;i<=(x>>1);i++)
16             S[sg[i][x-i]]=1;
17     if(y>1)
18         for(int i=1;i<=(y>>1);i++)
19             S[sg[i][y-i]]=1;
20     for(int i=0;;i++)
21         if(!S[i]){
22             sg[x][y]=sg[y][x]=i;
23             return;
24         }
25 }
26 
27 void get_sg(){
28     for(int i=1;i<=20;i++)
29         for(int j=1;j<=i;j++){
30             calc(i,j);
31             printf("%d %d %d\n",i,j,sg[i][j]);
32         }
33     for(int i=1;i<=20;i++){
34         for(int j=1;j<=20;j++)  printf("%d ",sg[i][j]);
35         puts("");
36     }
37 }
38 
39 int main(){
40     get_sg();
41     return 0;
42 }

然后是一段长时间的懵逼。。。

最后推出了这样一个求sg函数的规律

1 int sg(int x,int y) {
2     ll tmp=2;
3     for(int i=0;;i++,tmp<<=1)
4         if((x-1)%tmp<(tmp>>1)&&(y-1)%tmp<(tmp>>1)) return i;
5 }

完整代码大概是这样的，很显然吧。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 
 6 typedef long long ll;
 7 int T,n;
 8 
 9 int sg(int x,int y) {
10     ll tmp=2;
11     for(int i=0;;i++,tmp<<=1)
12         if((x-1)%tmp<(tmp>>1)&&(y-1)%tmp<(tmp>>1)) return i;
13 }
14 
15 int main() {
16     int T;
17     scanf("%d",&T);
18     int x,y,ans;
19     while(T--) {
20         scanf("%d",&n);  n>>=1;
21         ans=0;
22         for(int i=1;i<=n;i++) {
23             scanf("%d%d",&x,&y);
24             ans^=sg(x,y);
25         }
26         if(ans) puts("YES");
27         else puts("NO");
28     }
29     return 0;
30 }