几何的三大问题

Posted 2023-05-18

参考技术A 三大几何难题是指：（1）倍立方体：即作一立方体，是该立方体的体积为给定立方体的两倍；（2）但等分角：即对人员给定的一个角，作其三等分角；（3）化园为方：即作一个正方形，使其面积与一给定的圆相等 参考技术B 几何三大问题(Three major geometric problems)，亦称尺规作图问题，源于古希腊是几何学中的著名问题，主要包括尺规作图三大问题：

（1）三等分角问题：即把任意一个已知角三等分；

（2）立方倍积问题：即求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体的体积的2倍；

（3）化圆为方问题：也称圆积问题，即求作一个正方形，使它的面积等于一个已知圆的面积。

这三个问题吸引了历代许多学者进行研究，长期未能解决，被称为几何三大问题。直至1837年，Wantzel用代数方法首先证明了（1）、（2）两个问题均属尺规作图不能问题。1882年，林德曼(Lindemann)证明了第三个问题也属于尺规作图不能问题.1895年，克莱因(Klein, (C. )F.)总结了前人的研究，著有《几何三大问题》一书，给出三大问题不可能用尺规来作图的简明证法，彻底解决了两千多年的悬案。如果不限制作图工具，几何三大问题根本就不是什么难题，而且早已解决。公元前5世纪，雅典的智人学派以上述三大问题为中心开展研究，正因为问题不能用尺规来解决，常常使人进人新的领域中去，促进了数学的发展.如激发了圆锥曲线、割圆曲线以及三、四次代数曲线的出现。
内容
三等分角问题
三等分角问题的完整叙述为：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。在尺规作图（指用没有刻度的直尺和圆规作图）的前提下，此题无解。若将条件放宽，例如允许使用有刻度的直尺，或者可以配合其他曲线使用，可以将一给定角分为三等分[1]。

立方倍积问题
立方倍积问题(problem of duplication of a cube)亦称倍立方体问题、德里安问题、Delos问题、德洛斯问题 、第罗斯问题等，是几何三大问题之一。假设已知立方体的棱长为a,所求立方体的棱长为x，则学x3=2a3，令a=1，有x3-2=0。可以证明，若此方程有有理根，不外乎±1，±2，但它们都不是方程的根，因而不存在有理根，根据“有理系数的三次方程若无有理根，则长度等于它的任何实根的线段不能仅用尺规作图”的定理，立方倍积属尺规作图不能问题。

化圆为方问题
化圆为方问题（problem of quadrature of circle），也称圆积问题，由古希腊著名学者阿纳克萨戈勒斯提出的，但是阿纳克萨戈勒斯一生也未能解决自己提出的问题。该问题为求作一个正方形，使其面积等于已知圆的面积，其难度在于作图使用工具的限制。若不受标尺的限制，化圆为方问题并非难事，欧洲文艺复兴时代的大师，意大利数学家达芬奇（1452－1519）用已知圆为底，圆半径的1/2为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，所得矩形的面积为r/2，2πr=πr2，然后再将矩形化为等积的正方形即可。

意义
虽然三大几何作图难都被证明是不可能由尺规作图的方式做到的，但是为了解决这些问题，数学家们进行了前赴后继的探索，最后得到了不少新的成果，发现了许多新的方法。同时，它反映了数学作为一门科学，它是一片浩瀚深邃的海洋，仍有许多未知的谜底等待这我们去发现。

boost 几何是不是支持弯曲几何？

【中文标题】boost 几何是不是支持弯曲几何？

【英文标题】：Does boost geometry support curved geometries?boost 几何是否支持弯曲几何？

【发布时间】：2021-01-27 16:53:31

【问题描述】：

是否可以使用 boost 几何构造circular sector？

我想检查矩形是否与圆形扇区重叠，如下图所示。

【问题讨论】：

您的意思是球面几何还是圆/椭圆的弧形扇区？

据我所知，从他们的models 可以看出，后者只能使用近似多边形。 球形几何体（例如在 3d 球体的表面上）在我所见的范围内得到支持。

嗨，@πάνταῥεῖ 感谢您的查找。我需要圆/椭圆的弧形扇区。

因此，如前所述，您需要找到一种方法来提供足够近似的多边形来构建弧形扇区。一般来说，如果您使用近似值，这些数字对于规则多边形形状会很快收敛。另一方面，我怀疑，描述多边形的点越多，执行计算所需的时间就越多。

【参考方案1】：

这显然是不可能的。它还明确记录了如何例如使用buffer算法从一个点生成一个给定半径的圆：

https://www.boost.org/doc/libs/master/libs/geometry/doc/html/geometry/reference/strategies/strategy_buffer_point_circle.html

但是，您必须应用交点以最终得到位于给定形状内的线段（线串概念），以获得该圆的一部分。