01背包问题的详细概述

Posted 2020-10-01 William_xh

对于背包问题，林喵喵推荐我看了dd大佬的背包九讲，在此附上链接：http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/8142876

网上应该有下载的版本：https://wenku.baidu.com/view/7c1ed28dbd64783e08122b65.html

然后花了一个晚上和一个上午的时间，终于对最简单的01背包问题有了一点点自己的理解，在此进行一些自己的解释。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，（如果第i件物品放得下的话）第 i件物品应该放入背包中吗 ？（当然，如果放不下，那就只能选择不放了）

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

 

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

 

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。（如果是第一次学01背包，请务尝试必手写这张表）

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。（这个就是在循环中的一个判断（if（v[i]<=j）））

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],(就是在这个物品放得下的前提下，我们不放这个物品，可以理解为，这个物品占空间位置大，且价值小)对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi（表示我要把这个物品放入背包，那就是为这个物品腾出空间，然后看在j-wi的空间下，放I-1件物品的时候，最大的价值是多少，把那个最大+wj）；

在这里，

 f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包。

大概就是这样，如果有什么问题，我今后再补充。

文章参考：http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810