《算法导论》— Chapter 12 二叉查找树

Posted 2020-10-01 wzzkaifa

序

查找树是一种数据结构，它支持多种动态集合操作。包含Search、Minimum、Maximum、PreDecessor、Successor、Insert、Delete等。它既能够用作字典，也能够用作优先级队列；在二叉查找树（Binary Search Tree）上执行基本操作的时间与树的高度成正比，对于一颗含有n个结点的全然二叉树，基本操作的最坏情况执行时间为$floor(logn)$。

本章讨论二叉查找树的基本性质以及上面提及的基本操作的实现。

GitHub 程序实现代码

1 二叉查找树

1.1 性质

例如以下图所看到的。一颗二叉查找树是依照二叉树结构来组织的。这种树一般用链表结构表示，每个结点是一个对象，包含关键字key、父亲结点parent、左儿子结点left以及右儿子结点right四个属性。

明显的，对于二叉查找树中关键字的存储方式总是满足这种性质：
设$x$为二叉查找树中的一个结点。假设$y$是$x$左子树中的一个结点，则$y->key <= x->key$，假设$y$是$x$右子树中的一个结点，则$y->key >= x->key$。

1.2 基本操作

1.2.1 遍历

依据二叉查找树的性质。能够用一个递归算法依照排列顺序依次输出全部关键字，这就是中序遍历，遍历顺序为根、左子树、右子树。相同的，有前序遍历，根的关键字在左右子树之前输出。后序遍历。根的关键字在其左右子树之后输出。

1.2.2 查找

对于二叉查找树，最常见的操作就是查找树中的某个关键字。

查找操作相同採用递归的形式实现，其复杂度等于树的高度。
操作步骤例如以下图所看到的：

1.2.3 求最大、最小关键字

对于用作优先级队列的结构。求最大最小关键字是不可缺少的操作。
要查找二叉查找树中的最小关键字，依据树的性质，仅仅要从根节点開始，沿着各个结点的left指针查找下去，直到遇到NULL为止。

同理，要查找二叉查找树中的最大关键字，依据树的性质。仅仅要从根节点開始，沿着各个结点的right指针查找下去，直到遇到NULL为止。
这两个操作的执行时间都是$O(h)$。

1.2.4 求前驱、后继

我们知道。中序遍历二叉查找树得到的是一组有序序列，有时候须要求指定结点的前驱与后继。对于给定结点$x$的后继结点是具有大于或等于$x->key$中关键字的最小结点；同理，对于给定结点$x$的前驱结点是具有小于$x->key$中关键字的最大结点。依据二叉查找树的性质，不用对关键字做不论什么比較就能够得到给定结点的前驱和后继结点。

1.2.5 插入

插入和删除操作会引起整个二叉查找树表示的集合的动态变化。要反应出这种变化。就要改动数据结构，可是在改动的同一时候。还要保持整棵树的性质不变。

将新值插入到一颗二叉查找树中的步骤例如以下：

1.2.6 删除

相对于插入操作。删除更加复杂一些。下图具体展示了删除不同结点须要的步骤：

对高度为$h$的二叉查找树，动态集合操作Insert与Delete的执行时间都是$O(n)$。

2 二叉查找树程序实现

以下给出的程序实现。包含了全部以上提及的基本操作：
$(1)BinarySearchTree.h$

#ifndef _BINARYSEARCHTREE_H_
#define _BINARYSEARCHTREE_H_

#include <iostream>

typedef struct BSTNode{
    BSTNode *left;
    BSTNode *right;
    BSTNode *parent;

    int key;

    BSTNode(int data) : left(NULL), right(NULL), parent(NULL), key(data){}
};

class BinarySearchTree{
public:
    BinarySearchTree();
    ~BinarySearchTree();

    //插入删除操作
    void Insert(int data);
    BSTNode *Delete(int data);
    BSTNode *root;
};

//查找操作
BSTNode *Search(BSTNode * node, int data);

//遍历操作
void InOrderWalk(BSTNode * node);
void PreOrderWalk(BSTNode * node);
void PostOrderWalk(BSTNode * node);

//查询最大最小值
BSTNode *Maximum(BSTNode * node);
BSTNode *Minimum(BSTNode * node);

//查找前驱与后继
BSTNode *PreDecessor(BSTNode *node);
BSTNode *Successor(BSTNode *node);

#endif

$(2)BinarySearchTree.cpp$

#include "BinarySearchTree.h"
#include <iostream>

BinarySearchTree::BinarySearchTree()
{
    root = NULL;
}

BinarySearchTree::~BinarySearchTree()
{
    delete root;
}

//向二分查找树中插入数据data
void BinarySearchTree::Insert(int data)
{
    BSTNode *node = new BSTNode(data);
    BSTNode *p = root, *q = NULL;
    while (p != NULL)
    {
        q = p;
        if (p->key > data)
            p = p->left;
        else
            p = p->right;
    }
    node->parent = q;
    if (q == NULL)
        root = node;
    else if (q->key > data)
        q->left = node;
    else
        q->right = node;
}

//从二分查找树中删除数据
BSTNode *BinarySearchTree::Delete(int data)
{
    BSTNode *node = Search(root, data);
    BSTNode *ret , *tmp;

    if (node == NULL)
        return node;

    //假设目标结点仅仅有一个子女则删除该结点，否则删除其后继结点
    if (node->left == NULL || node->right == NULL)
        ret = node;
    else
        ret = Successor(node);

    //假设被删结点有左右孩子，将其链接到被删结点的父节点
    if (ret->left != NULL)
        tmp = ret->left;
    else
        tmp = ret->right;

    if (tmp != NULL)
        tmp->parent = ret->parent;
    //假设被删结点的父节点为空，则说明要删的是根节点
    if (ret->parent == NULL)
        root = tmp;
    else if (ret == ret->parent->left)
        ret->parent->left = tmp;
    else
        ret->parent->right = tmp;

    if (ret != node)
        node->key = ret->key;

    return ret;
}

//查找以node结点为根的子树中值为data的结点
BSTNode *Search(BSTNode * node, int data)
{
    if (node == NULL || node->key == data)
        return node;
    if (data < node->key)
        return Search(node->left, data);
    else
        return Search(node->right, data);
}

//遍历操作
void InOrderWalk(BSTNode * node)
{
    if (node != NULL)
    {
        InOrderWalk(node->left);
        std::cout << node->key << "\t";
        InOrderWalk(node->right);
    }
}

void PreOrderWalk(BSTNode * node)
{
    if (node != NULL)
    {
        std::cout << node->key << "\t";
        InOrderWalk(node->left);
        InOrderWalk(node->right);
    }
}

void PostOrderWalk(BSTNode * node)
{
    InOrderWalk(node->left);
    InOrderWalk(node->right);
    std::cout << node->key << "\t";
}

//查询最大最小值
BSTNode *Maximum(BSTNode * node)
{
    while (node->left != NULL)
        node = node->left;
    return node;
}

BSTNode *Minimum(BSTNode * node)
{
    while (node->right != NULL)
        node = node->right;
    return node;
}

//查找前驱与后继
BSTNode *PreDecessor(BSTNode *node)
{
    if (node->left != NULL)
        return Maximum(node->left);

    BSTNode *p = node->parent;
    while (p != NULL && node == p->left)
    {
        node = p;
        p = node->parent;
    }

    return p;
}


BSTNode *Successor(BSTNode *node)
{
    if (node->right != NULL)
        return Minimum(node->right);
    BSTNode *p = node->parent;
    while (p != NULL && node == p->right)
    {
        node = p;
        p = node->parent;
    }

    return p;
}

$(3)main.cpp$

#include "BinarySearchTree.h"
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

using namespace std;

const int MAX = 101;
const int N = 10;

int main()
{
    BinarySearchTree *bst = new BinarySearchTree();

    //设置随机化种子，避免每次产生相同的随机数   
    srand(time(0));

    //构造一个随机数组成的二分查找树
    for (int i = 0; i < N; i++)
        bst->Insert(rand() % MAX);

    //遍历查找树
    cout << "先序遍历二分查找树bst：" << endl;
    PreOrderWalk(bst->root);

    //遍历查找树
    cout << endl << "中序遍历二分查找树bst：" << endl;
    InOrderWalk(bst->root);

    //遍历查找树
    cout << endl << "后序遍历二分查找树bst：" << endl;
    PostOrderWalk(bst->root);

    int x = 45;
    BSTNode *node = Search(bst->root, x);
    if (node)
    {
        cout << endl << "二分查找树bst中存在结点x = " << x << endl;
        bst->Delete(x);

        cout << endl << "删除二分查找树中结点x = " << x << "成功！" << endl;

        //遍历查找树
        cout << endl << "先序遍历二分查找树bst：" << endl;
        PreOrderWalk(bst->root);

        //遍历查找树
        cout << endl << "中序遍历二分查找树bst：" << endl;
        InOrderWalk(bst->root);

        //遍历查找树
        cout << endl << "后序遍历二分查找树bst：" << endl;
        PostOrderWalk(bst->root);
        cout << endl << endl;
    }
    else{
        cout << endl << "二分查找树bst中不存在结点x = " << x << endl;
        cout << endl << endl;
    }

    system("pause");
    return 0;
}

測试结果（查找失败的情况）：

測试结果（查找成功并删除）：

3 随机构造的二叉查找树

在本章的最后介绍了一种随机构造二叉查找树的理论方法，这主要是针对普通二叉查找树基本操作执行时间$O(h)$考虑的。这种方式能够使得：
一棵在n个关键字上随机构造的二叉查找树的期望高度为$O(logn)$。
这一部分感觉应用不多吧，木有细致看，^||^~~