POJ 1160 经典区间dp

Posted 2020-10-01 zzq

  链接http://poj.org/problem?id=1160

很好的一个题，涉及到了以前老师说过的一个题目，可惜没往那上面想。

题意，给出N个城镇的地址，他们在一条直线上，现在要选择P个城镇建立邮局，使得每个城镇到离他最近的邮局距离的总和尽量小。

首先提一个这个问题的简化版本，如果P=1得话，这个距离是多少呢? 这个问题的解就是将这个唯一的邮局建在(l+r)/2的位置，答案就是最优解，

这个类似于中位数的概念，我们有一个数学归纳法简单的证明

数轴上有n个点，求到这n个点距离最小的一个点   问题描述：如题分析：这个题目不能简单地将所有点的平均数作为答案，这样是不对的，有反例。例如：x1=1, x2=3, x3=4, x4=100, 那么他们的平均数为x=27, 所有点到x的距离为146, 但当我们取x=10时，得打距离的值为116，比146更小。下面我们来用归纳法的思想来分析：如果n=1,那么就取这个点如果n=2，那么取x1和x2之间的任何一个点都是答案如果n=3，那么取中间的那个点，就是答案如果n=4，那么取中间的两个点所构成的闭区间就是答案... 如果n是奇数,那么就是第(n+1)/2这个点如果n是偶数，那么就是n/2这个点和(n/2)+1这两个点所构成的闭区间假设所有点都按序排列。
  同理也可以推广到二维平面选点，只要找两次x和y的中位数就是最佳的地址。

对于此题不难想到dp[i][j]表示前i个城镇建立j个邮局的最小花费距离，因为不是每个地方都有邮局所以用dp[i][j]表示i-j之间的话不太方便，起点总是1所以可以免去一维。

则 dp[i][j]=MIN{dp[i][j],dp[k][j-1]+dis[k+1][i]| ,1<=k<=i} 其中dis[a][b]表示a-b之间建立一个邮局的最小花费距离，由上面的方法可以引出递推式:dis[i][j]=dis[i][j-1]+x[j]-x[(i+j)/2]

一开始我卡住，因为想不通递推式，我想这个分割点k如果k后面的邮局选址会影响到前面某个点使得价值更低这样岂不是会计算错误吗，后来想了想发现，这样会使结果变大，但是总会循环到那个最优的k使得恰好互不影响。因为离某个城镇的邮局最近的地方只有两种情况，左边或者右边，如果到k时出现交叉即

i_______k______j,从k分割时，(k,j]之间建立的那个邮局使得[i,k]的某个点会有更小的距离。一直向右循环总会到达使得两边互不影响的点，此时计算得到最优解。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define inf 0x3f3f3f3f
 4 int dp[305][35];
 5 int x[305],one[305][305]={0};
 6 int main()
 7 {
 8     int N,M,i,j,k;
 9    // freopen("in.txt","r",stdin);
10     while(cin>>N>>M){
11         scanf("%d",&x[1]);
12         for(i=2;i<=N;++i)
13              scanf("%d",&x[i]);
14         memset(dp,inf,sizeof(dp));
15         for(i=1;i<=N;++i)
16             for(j=i;j<=N;++j)
17         if(i==j) one[i][i]=0;
18         else    
19             one[i][j]=one[i][j-1]+x[j]-x[(i+j)/2];
20         for(i=1;i<=N;++i) dp[i][1]=one[1][i];
21         for(i=2;i<=N;++i)
22         {
23             int up=min(M,i);
24             for(j=2;j<=up;++j)
25             {
26                 for(k=1;k<=i;++k)
27                 {
28                    int s=dp[k][j-1]+one[k+1][i];
29                    if(dp[i][j]>s) dp[i][j]=s;
30                 }
31             }
32         }
33         printf("%d\n",dp[N][M]);
34     }
35     return 0;
36 }