logistic分类

Posted 2020-10-01 Asu_PC

1. logistic分类

几乎所有的教材都是从logistic分类开始的，因为logistic分类实在太经典，而且是神经网络的基本组成部分，每个神经元(cell)都可以看做是进行了一次logistic分类。

所谓logistic分类，顾名思义，逻辑分类，是一种二分类法，能将数据分成0和1两类。

logistic分类的流程比较简单，主要有线性求和，sigmoid函数激活，计算误差，修正参数这4个步骤。前两部用于判断，后两步用于修正。本文分为3部分，前2部分讲普通logistic分类的流程，第三部分则稍作扩展。

它的优点一是逻辑回归的算法已经比较成熟，预测较为准确；二是模型求出的系数易于理解，便于解释，不属于黑盒模型，尤其在银行业，80%的预测是使用逻辑回归；三是结果是概率值，可以做ranking model；四是训练快。当然它也有缺点，分类较多的y都不是很适用；对于自变量的多重共线性比较敏感，所以需要利用因子分析或聚类分析来选择代表性的自变量；另外预测结果呈现S型，两端概率变化小，中间概率变化大比较敏感，导致很多区间的变量的变化对目标概率的影响没有区分度，无法确定阈值。

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1.1 线性求和以及sigmoid函数

第1,2步是用于根据输入来判断分类的，所以放在一起说。假设有一个n维的输入列向量 x，也有一个n维的参数列向量h， 还有一个偏置量b， 那么就可以线性求和得到z. 

                              

此时因为z的值域是[−∞,+∞] ，是无法根据z来判断x 到底是属于0还是1的。因此我们需要一个函数，来将z的值映射到[0,1]之间， 这就是激活函数。激活函数有很多种，这里的激活函数是sigmoid函数。 

          

其形状为 

 

 
图1 sigmoid函数

可以看到x越大，σ(x)越接近1，反之，则越接近0. 那么在判断的时候，我们首先对之前得到的z代入sigmoid函数 

                      
当 a 大于0.5的时候，我们判定x应属于1类，如果小于0.5，则属于0类。这样，就完成了判断的工作。

损失函数是在机器学习中最常出现的概念，用于衡量均方误差[（模型估计值－模型实际值）^2／ n]最小，即预测的准确性，因而需要损失函数最小，得到的参数才最优。（线性回归中的最小二乘估计也是由此而来）但因为逻辑回归的这种损失函数非凸，不能找到全局最低点。因此，需要采用另一种方式，将其转化为求最大似然，如下，具体的推导求解过程可参见博客http://blog.csdn.net/suipingsp/article/details/41822313 另一种较为好理解的方式是，如果Y=1，你胆敢给出一个h(x)很小的概率比如0.01，那么损失函数就会变得很大：

                                 

                         

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1.2 误差计算以及参数修正

上面完成的判断过程中用到了参数向量h和偏置量b。 可以说，h和b的值直接关系到logistic判断的准确性。那么这两组参数是如何获得的呢？这就涉及到了参数的修正。在最开始的时候，h中的值是随机的，而b的值是0. 我们通过不断的训练来使得h和b能够尽可能的达到一个较优的值。

那么如何训练呢？假设我们期望输入x的判定是y，而实际得到的判定值是a，那么我们定义一个损失函数C(a,y)，通过修正h和b的值来使得C最小化，这是一个优化问题。在凸优化问题中，可以通过 

 

                    

来直接算得h和b的最优解。然而在某些情况下，例如数据规模很大，或者非凸优化问题中，则不能这么做，而是用迭代的方法来得到局部最优解。 

                     

其中 η 表示学习率。在这里，我们把损失函数定为平方损失函数，即那么可以得到 

                    

这样，就能够得到每次迭代的参数更新公式为 

                    

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1.3 将logistic扩展到多分类

从之前可以看出，普通的logistic只能进行二分类，即只能够分为0或者1。那么如果这些样本属于多个类该怎么办呢？人们想了很多办法，例如一对多法，依次把某个类别的样本归为一类,其他剩余的样本归为另一类，这样k个类需要构建k个分类器。还有一对一法，在任意两类样本之间设计一个分类器，k个类需要k(k-1)/2个分类器。

在这里，我们将输出由一个值更改为一个向量。例如有3个类，那么输出就是一个长度为3 的列向量，对应项的值为1，其他为0.即 

                        
分别表示第0,1,2个类。 也可以看成是原来若干个logistic分类器组合在一起。对应的某个分类器只对该类输出1，其他情况都输出0.从这一点上来讲，这个做法有点类似于一对多法。此时，由于输出从一个数成为一个向量，之前的公式都要加以修改。首先，原来的y,a,z,b变成了列向量， 向量h变成了矩阵W。这样，判断部分的公式变为 

                                

此时的σ函数表示对向量中的每一个元素单独做运算。即 

 

               

得到的a向量中，其最大值所在的位置索引即为判断出的分类。 
参数修正部分的公式也是类似的， 

                

注意有些向量之间是进行.

转自：http://blog.csdn.net/u014595019/article/details/52554582