三分法

Posted 2020-10-01

2017-08-06     22:47:36 

区别于二分法 ， 二分法只适用于单调函数 （在一个单调的序列中对某一个元素进行查找）

三分法  突破了这种限制 ， 可以用于凸函数或凹函数 ， 这是因为凸函数或凹函数必存在一个最值

 

　　三分 顾名思义 要将一个线段分成 3 份 ， 可以以线段 1/3  与  2/3 的位置 作为 3 分的 基准 ，将此函数分为3段 ， 再分别计算 lm  与  lr  所对应的值 ， 将较小的一侧全部舍去 ， 并且重新赋予 left 与 right ,  一直重复此过程下去 ， 直到 right - left > 1e-7 。此时被分割的线段可以近似看成一个点 ， 也就是此函数的极值 。

 

代码示例

　　

double f( int x ) {
    return f(x) ;   // f(x) 则代表所要三分的函数 

}
double sf ( int left , int right ) {  // 三分求最大值 
    double lm , lr ;   // 定义两个三分的中间变量 
    
    while ( right - left > 1e-7 ) {  // 当最三分的线段无线小时 ， 此时近似为一个点 ， 即函数的最值 

        lm = l + ( right - left ) / 3.0 ;   // 选取线段的 1/3 点为一个基准点 
        lr = r - ( right - left ) / 3.0 ;     // 选取线段的 2/3 点为另一个基准点    
        if ( f(lm) > f(lr) ) right = lr ;    
        else left = lm ;      
    }
    
    return left ;    // 此时被三分的线段无线小 ， 因此任意返回一个点就行 

}

 

/***********/  特别注意下  上面的精度控制 right - left > 1e-7 , 1e-7 的精度可能并不符合题目要求 ， 有两种方法解决 ， 一是将精度提升为 1e-10 ， 二是直接三分 100 次函数 。

 

例题 示例 ：  http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3203

问题分析 ：

　　　　题目所求影子的长度 ， 包括两部分 地上的和墙上的 或者  人较靠左站 ，只在地上有影子 ，想要有最长的影子 ， 显然是考虑人的影子同时出现在墙上和地上的情况  。推导出公式 ， 进而求解 。

 

代码示例 ：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std ;

double H , h , d ;
	
double f( double x ) {
	double ans = ( x - d ) * ( H - h ) * 1.0 / x + h + d - x ;
	return ans ;
}

int main ( ) {
	int t ;
	double lm , lr ;
	
	while ( cin >> t ) {
		while ( t-- ) {
			cin >> H >> h >> d ;
			
			double l = d * ( H -h ) / H  , r = d ;
			while ( r - l > 1e-9 ) {
				lm = l + 1.0 / 3 * ( r - l ) ;
				lr = r - 1.0 / 3 * ( r - l ) ;
				if ( f(lm) >= f(lr) ) r = lr ;
				else l = lm ;
			}
			printf ( "%.3f\\n" , f(lm) ) ;		
		}
	}
	
	return 0 ;
}