7215:简单的整数划分问题

Posted 2020-10-01 寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟

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描述
将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。正整数n 的不同的划分个数称为正整数n 的划分数。

输入
标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一个整数N(0 < N <= 50)。
输出
对于每组测试数据，输出N的划分数。
样例输入
5
样例输出
7
提示
5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1

算法分析：（一）递归法

把一个正整数n写成如下形式： n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
例如当n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
(1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
(2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};
(3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
　　(a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
　　(b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
(4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);
(5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
　　(a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m);
　　(b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：
f(n, m)    =1; 　　　　　　　　　　 (n=1 or m=1)
               =f(n, n); 　　　　　　　　 (n<m)
               =1+ f(n, m-1); 　　 　　     (n=m)
               =f(n-m,m)+f(n,m-1);　　     (n>m)

 1 #include <stdio.h>
 2 long long GetPartitionCount(int n,int max)
 3 {
 4     if(n==1||max==1) return 1;
 5     else if(n<max) return GetPartitionCount(n,n);
 6     else if(n==max) return 1+GetPartitionCount(n,max-1);
 7     else return GetPartitionCount(n,max-1)+GetPartitionCount(n-max,max);
 8 }
 9 int main(int argc, char *argv[])
10 {
11     int n;
12     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
13     {
14         printf("%lld\n",GetPartitionCount(n,n));
15     }
16     return 0;
17 }