二分法

Posted 2020-10-01

2017-08-06    22:48:56

 

一、定义

　　二分查找 又称为折半查找 ， 是一种查找效率较高的方法 。

　　要求 ： 1 . 所查找的序列为有序序列

　　　　　  2. 只能在顺序存储结构上实现

二、基本思想

　　每次将给定的 key 值与有序表中间位置上记录的数据进行比较 ，确定待查记录所在的范围 ， 然后逐渐缩小查找范围 ， 直到确定找到或找不到 。

三、查找过程

　　每次执行的操作是将  key  依次与  mid  对应的数据进行比较 。

　

注意 ：

　　mid = (  low + high ) / 2  , 可能会因为 low + high 超范围溢出 ， 所以在写的时候 mid = low + ( high - low ) /  2 ;

举一个例题 ：

　　输入n ( n<= 100,000) 个整数， 找出其中的两个数，它们之和等于 整数m( 假定肯定有解) 。 题中所有整数都能用 int 。

　　方法一 ： 二分找数 。

　　方法二 ：1 . 对数组进行排序 ， 复杂度为 n * log n  ; 

　　　　　　 2 . 设置两个下标 i 和 j ， 另 i = 0 , j = n - 1  ， 判断 a[i] + a[j] == m  ， 若 a[i] + a[j] > m , j--  ， 否则如果 a[i] + a[j] < m , i++ 。 这样下来复杂度为  n  。

　　　　　　综合起来复杂度为  n * log n 。

 

代码示例 ：

　　非递归版本

　　

/*******************************/
// 非递归版的二分法 
void search ( int low , int high , int key ) {
	
	while ( low <= high ) {
		int mid = ( low + high ) / 2 ;
		if ( key == a[mid] ) {
			cout << "找到" ;
			return ;  // return 的作用是为了跳出函数，并且返回值为空类型 
		}  
		if ( key > a[mid] ) low = mid + 1 ;
		else high = mid - 1 ;
	}
	cout << "未找到" ;  // 若前面所要找的数未找到，则函数不会返回，此时会执行到这一步。 
} 

 

递归版本

　

/*******************************/
// 递归版的二分法 
void search ( int low , int high , int key ) {
	int mid = ( low + high ) / 2 ;
	
	if ( low >= high ) {
		cout << "未找到" ;
		return ; 
	}
	if ( a[mid] == key ) {
		cout << "找到" ;
		return ;
	}
	if ( a[mid] > key ) search ( low , mid - 1 , key ) ;
	else search ( mid + 1 , high , key ) ;
}

 

时间复杂度：

　　由于二分法每次是折半分 ， 设复杂度为 k ， 二分的所有数据总数为 n , 则 2^k = n  ， 复杂度 k = lg n 。

 

二分查找 ： 

　　在做二分题的时候会遇到一类二分查找的题 ， 此类题的特点是 直接找到要二分的首区间与尾区间 ， 一直二分找最优解 ，直到退出循环条件 。

　　方法一 ：

int fun ( int key , int l , int r ) {
	int mid ;
	while ( l <= r ) {
		mid = l + ( r - l ) / 2 ;
		if ( a[mid] == key ) return mid ;
		if ( a[mid] < key ) l = mid + 1 ;
		else r = mid - 1 ;		
	}
	return -1 ;
}

// 在不提前返回的前提下 ， 二分的退出条件是 l > r  ， 退出循环的前一次是 l = r = mid  

　　方法二：

int fun ( int key , int l , int r ) {
	int mid ;
	
	while ( l < r ) {   // 在二分的过程中不返回值的情况 
		mid = l + ( r - l ) / 2 ;
		if ( a[mid] < key ) l = mid + 1 ;
		else r = mid ;
	}
	if ( a[mid] == key ) return mid ;
	else return -1 ;
}
/// 这种方式写的二分 ， 循环最终退出是因为 l 一直向左移 ， 最终等于 r ， 此时 l 等于 r ，结束循环 
/// 而此时 r 也记录着最后一次 mid 值  

　　

有一种情况也很特殊 ：

int fun ( int key , int l , int r ) {
	int mid ;
	while ( l <= r ) {
		mid = l + ( r - l ) / 2 ;
		if ( a[mid] == key ) return mid ;
		if ( a[mid] < key ) l = mid;   //若二分这样写 ， 则可能造成循环退不出去  
		else r = mid ;		// 同上 ， 但 有种情况可以这样写 ，就是在求一个方程的零点时
							// 因为零点不会是整数点 ，此时这样写不会有问题 ，但为了确保
							// 肯定没问题 ， 循环可以不用 while 控制 , 直接二分100次 
	}
	return -1 ;
}

　　

 

例题 ：

问题描述
　　有N个城市，每个城市有Ai个人。
　　现在要开始投票，每个人有一张票。
　　作为领导者，你有B个箱子，你必须要将这B个箱子分发到N个城市去，每个城市至少需要一个箱子。
　　每个人都必须要投票，不能弃票，也就是说要把票丢进箱子里去(每个城市有Ai张票)。
　　现在问你，怎么分配这B个箱子才能使这些所有箱子里中票数最大的那个箱子里的票最少?

输入
　　输入包含一个数N(1<=N<=500,000)和B(N<=B<=2,000,000)。
　　接下来N行包含N个数，每个数Ai(1<=Ai<=5,000,000)表示每个城市的人数。
　　输入N为-1，B为-1时结束。

输出
　　输出那个带兵量最多的将领所带的士兵数。

样例输入
　　2 7
　　200000
　　500000
　　4 6
　　120
　　2680
　　3400
　　200
　　-1 -1

样例输出
　　100000
　　1700

 

/**************************************/

补充一道 HDU 2141   http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2141         // 

 

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