uva live 7639 Extreme XOR Sum （暴力+二项式）

Posted 2020-10-01 Dh_q

题目链接：https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=5661

题意：

　　给你一个长度为n的整数序列，询问任意区间的极端异或和。

　　定义极端异或和：

　　　　当长度n > 1 的时候，将数组长度缩小到n-1。

　　　　[a₁, a₂, a₃ ···, a_n] -> [a₁⊕a₂,  a₂⊕a₃, a₃⊕a₄, ···, a_n-1⊕a_n]。

　　一直缩小，直到长度减为1， 就是极端异或和。

题解：

　　[a₁, a₂, a₃, a₄, a₅] 操作时

　　第一次：[a₁⊕a₂,  a₂⊕a₃, a₃⊕a₄, a₄⊕a₅]

　　第二次：[a₁⊕a₂⊕a₂⊕a₃ ,  a₂⊕a₃⊕a₃⊕a₄, a₃⊕a₄⊕a₄⊕a₅]

　　以此类推到最后我们发现 a₁用了1次， a₂用了4次， a₃用了6次， a₄用了4次， a₅用了1次。

　　1 4 6 4 1。这个正好是C(0,4) C(1,4) C(2,4) C(3,4) C(4,4)。

　　满足二项式的系数。

　　所以对于长度为n的时候，我们需要C(n-1)的系数。

　　

　　我们就可以预处理C数组。

1     memset(C, 0);
2     for(int i = 0;i<=n;i++){
3         C[i][0] = 1;
4         for(int j = 1;j<=i;j++) C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
5     }

　　因为只需要考虑奇偶性，就可以 C[i][j] = (C[i-1][j-1] + C[i-1][j])%2

　　在第i个位置判断为奇数的时候就异或一下就可以得到ans了。

　　但是一次询问O(n) 的复杂度，会导致TLE。就需要优化一下。

　　

　　我们可以发现 %2 的操作其实就 xor的操作。

　　

 1 int C[maxn];
 2 vector <int> pos[maxn];
 3 void init()
 4 {
 5     ms(C, 0);
 6     for(int i = 1;i<maxn;i++)
 7     {
 8         C[0] = C[i-1] = 1;
 9         for(int j = i-2;j>=1;j--) C[j] = C[j-1]^C[j];
10         for(int j = 0;j<i;j++)
11             if(C[j])
12                 pos[i].pb(j);
13     }
14 }

　　这里减少了一维的空间（可以参考01背包那里），因为都是滚动数组。

　　将第j个位置是奇数，记录起来。

 

 

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <string>
 5 #include <algorithm>
 6 #include <cmath>
 7 #include <vector>
 8 #include <queue>
 9 #include <map>
10 #include <stack>
11 #include <set>
12 using namespace std;
13 typedef long long LL;
14 typedef unsigned long long uLL;
15 #define ms(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
16 #define pb push_back
17 #define mp make_pair
18 #define eps 0.0000000001
19 #define IOS ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
20 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
21 const int inf = 0x3f3f3f3f;
22 const int mod = 1e9+7;
23 const int maxn = 10000+10;
24 int a[maxn];
25 int C[maxn];
26 vector <int> pos[maxn];
27 void init()
28 {
29     ms(C, 0);
30     for(int i = 1;i<maxn;i++)
31     {
32         C[0] = C[i-1] = 1;
33         for(int j = i-2;j>=1;j--) C[j] = C[j-1]^C[j];
34         for(int j = 0;j<i;j++)
35             if(C[j])
36                 pos[i].pb(j);
37     }
38 }
39 void solve()
40 {
41     int n;scanf("%d", &n);
42     for(int i = 0;i<n;i++)  scanf("%d", &a[i]);
43     int q;scanf("%d", &q);
44     while(q--){
45         int l, r;scanf("%d%d", &l, &r);
46         int len = r-l+1;
47         int ans = 0;
48         int sz = pos[len].size();
49         for(int k = 0;k<sz;k++){
50             ans ^= a[pos[len][k]+l];
51         }
52         printf("%d\n", ans);
53     }
54 }
55 int main() {
56 #ifdef LOCAL
57     freopen("input.txt", "r", stdin);
58 //        freopen("output.txt", "w", stdout);
59 #endif
60 //    IOS
61     init();
62     int t;scanf("%d", &t);
63     int cnt = 1;
64     while(t--){
65         printf("Case %d:\n", cnt++);
66         solve();
67     }
68     return 0;
69 }

View Code

 

 

还有一个用Sierpinski sieve优化的，附上链接：http://morris821028.github.io/categories/%E8%A7%A3%E9%A1%8C%E5%8D%80/%E8%A7%A3%E9%A1%8C%E5%8D%80-UVa/