RSA简介——数论原理

Posted 2020-10-01 窗户

　　RSA是最常用的非对称加密算法。

　　所谓非对称加密，就是说有两个密钥，一个密钥加密只可以用另外一个密钥解密，一般一个作为公钥，公开给所有人用来加密用，而另一个用来解密其他拥有公钥的加密结果，叫做私钥。另外，拥有私钥者可以用私钥加密信息，公钥可以解密获得加密内容，从而验证私钥拥有者的身份，这是一种特殊的加密，叫签名。

　　RSA涉及到5个整数，关系如下：

　　p和q都是质数；

　　N=p*q;

　　找一个1<e1<(p-1)(q-1),使得e1与(p-1)(q-1)互质；（互质的意思是两个数的最小公约数为1）

　　再找一个1<e2<(p-1)(q-1)，使得e1*e2 % (p-1)(q-1) = 1；（%在这里的意思除法取余数，我不采用数学的mod符号 ）

　　(N，e1)数对和(N，e2)数对是我们所需要的两个密钥，至于p/q，一旦生成密钥就应该及时销毁，因为它除了可以让人窃取了之后直接破解之外，没有任何其他的作用。

　　对于任何满足1<A<N的整数A，使用(N,e1)加密就是

　　B=A^e1%N

　　对B解密，就是

　　A=B^e2%N

　　实际上，整数a和b互质有两个等价定义:

　　(1)a和b的最大公约数为1；

　　(2)存在整数c，d，使得ac+bd=1

　　两个定义的等价性证明中直接包含找e2的算法，放以后再讲。

　　对于所有小于N的正整数，建立一种二元运算，计作a#b，

　　定义a#b = a*b%N，称为模乘。

 

　　先看所有小于N且与N互质的正整数下的模乘，看看这些整数在N模乘下成一种什么样的代数系统。

　　因为a,b与N互质，所以a*b与N互质，所以a*b%N也与N互质，所以运算满足封闭性，

　　又易证，a#b#c = a#(b#c) = a*b*c%N ，也就是满足结合律，

　　从而，所有小于N并与N互质的数在#二元运算下成一半群，而且是有限半群，

　　所有的有限半群是群，所以所有小于N并与N互质的数在#二元运算下成一个群。

　　因为N=p*q,p和q都是质数，所有小于N并与N不互质的数都是p或者q的倍数，p的倍数小于N的一共q-1个，q的倍数小于N的一共p-1个

　　所以这个群的阶（元素的个数)就是p*q-1-(q-1)-(p-1) = p*q-p-q+1=(p-1)(q-1)，其e元为1。

　　

　　再看看小于N且与N不互质的正整数上的模乘，分两类，一类是有因数p，一类有因数q。

　　先看所有有因数p的模乘，也就是p,2p...(q-1)p下的模乘，

　　显然，其中任何两个数的乘积都有因数p²，再除以pq的余数也依然有因数q，所以依然在p.....(q-1)p之中，

　　所以模乘满足封闭性，同样，模乘也满足结合律，

　　从而是有限半群，从而是群，该群的阶为q-1，其e元记作e_p；

　　同理可得，有因数q的所有小于N的正整数在模乘下也是一个群，阶为p-1,其e元记作e_q。

　　

　　我们再定义一符号，a##n为n个a的模乘，

　　上面加密，B=A^e1%N，也就是B=A##e1，

　　那么B^e2%N也就是(A##e1)##e2 = A##(e1*e2)，

　　根据抽象代数知识，有限群的任何一个元素的周期是阶的因数，

　　因为e1*e2除以(p-1)(q-1)等于1，则存在一个正整数k，使得e1*e2 = k(p-1)(q-1)+1，则

　　如果A与N互质，与N互质的数的模乘群的阶为(p-1)(q-1)，

　　A##((p-1)(q-1)) = 1

　　所以A##(e1*e2) = A##(k(p-1)(q-1)+1)

　　　　　　　　　 =  A # (A##((p-1)(q-1)) ## k

　　　　　　　　　 = A # (1##k)

　　　　　　　　　 = A#1

　　　　　　　　　 = A，

　　如果A与N有公约数p，则

　　该群的阶为q-1，

　　所以A##(q-1)=e_p，

　　所以A##(e1*e2) = A##(k(p-1)(q-1)+1)

　　　　　　　　　 =  A # (A##(q-1) ## (k(p-1))

　　　　　　　　　 = A # (e_p##(k(p-1))

　　　　　　　　　 = A#e_p

　　　　　　　　　 = A，

　　同理，如果A与N有公约数q,

　　A##(e1*e2) = A，

　　所以

　　B^e2%N = A##(e1*e2)

　　　　　 = A，

　　这就是RSA加密解密之所以可以成立的原理，e1/e2可以互换，等式上依然成立，也就是说从数学原理上公钥私钥可以互换，

　　但一般公钥的指数很短，这样破解就会变的很容易，在这种意义上，公钥私钥是不可以互换的。