红黑树

Posted 2020-10-01 luStar

红黑树，顾名思义，就是把平衡二叉搜索树的节点赋予两种颜色，通过定义几条规则，达到约束的目的。红黑树可以保证，每次插入删除操作后的重平衡，全树拓扑结构的改变仅需要常数个节点，最坏情况下需要对logn个节点重染色，但是就分摊意义仍然为O(1)。

需要满足的条件：

（1）树根始终为黑色

（2）外部节点均为黑色

（3）红节点的孩子必然为黑色

（4）任一外部节点到根节点的路径，黑节点数量相同

从红黑树的规则，也可以得到一些结论，比如：红节点的父亲必然是黑节点；任一路径黑节点必然不少于红节点。

根据第（4）条规则，可以定义，从根节点通往任一节点的，除去根节点本身，沿途所经过黑节点的总数称为节点的黑深度(black depth)。所以也可以理解为，所有外部节点的黑深度一致。与树高类似，从任一节点通往其任一后代的沿途，经过的黑节点总数称为该节点的黑高度(black height)。

从黑高度的定义可以自然想到，红节点依赖于黑节点而存在，它们的存在甚至都不影响深度，是一种伴随的状态。事实上，红黑树可以认为是一种特殊的B-树，即(2,4)-树。因为红节点的父亲必然为黑节点，故可以把黑节点和他的红节点孩子看作一个B-树节点的关键码，这样就与(2,4)-树等效，其中黑节点必然位于中间，红关键码不超过两个。

根据红黑树的定义，红黑树的高度范围为[log2(n+1),2*log2(n+1)]，任一节点的左右高度(不是黑高度)相差不超过两倍。

红黑树的实现

红黑树可以继承二叉搜索树，只需要重写插入和删除操作即可。同时，还需要重新定义高度，此时高度仅指黑高度。一般地外部节点(即使不存在)都认为是黑节点。

插入

根据红黑树的4个要求，可以自然想到，插入的节点不可能为黑，否则将彻底打破全树的平衡，如果父亲以及兄弟节点均为黑，那么将难以调整。反之，插入的节点统一为红色，这样仅会导致局部不满足规则(3)。因此，插入后产生这种问题，称为“双红”。

考虑插入后的几种情况：

（1）父亲节点为黑，这样不需要调整。

（2）父亲节点为红，父亲的兄弟节点为黑。这时即构成了一个3-4问题，对这几个节点进行旋转操作，并将父亲节点染色为黑，祖父染为红即可。这种情况只需要1-2次旋转，2次染色，调整即可完成。

（3）父亲节点为红，父亲的兄弟节点也为红。此时无法通过旋转操作，考虑类似B-树的上溢操作，即节点因为超过4度而上溢。从B-树的观点看，将祖父上溢一层，两侧的节点分裂为两个新节点，并将父亲节点染黑，父亲的兄弟节点也染黑即可。祖父上溢后，可能会导致上一层的双红，于是需要继续向上递归。如果递归至根节点，那么需要把g染黑，同时全树的高度+1。这种情况每次操作只需要三次染色，但可能最多需要O(logn)次迭代。

删除

红黑树的删除操作，与一般二叉搜索树相同，先找到要删除的元素，然后再删除即可。先进行查找以及替换工作，如果被删除的元素两个孩子不都存在，替换为存在的孩子；如果两个孩子都存在，与直接后继交换。x为实际被删除的节点，而r是它的接替者，r的兄弟为外部节点w=NULL(因为x是后继，x不可能有左孩子)，这样可以将x统一视为双分支的节点，方便统一处理。（要注意，这里已经进行了替换，即x是实际删除的节点，后继需要按照二叉树的后继来寻找，并交换他们的数值。如果要删除的是叶节点，那么不存在后继，w本来即为NULL，不需要假设一个，直接释放掉这个节点。总之，实际处理的节点是原来节点的后继，不过已经交换了数值，r是该节点的后继，即原来节点位置后继的后继）

替换以及删除的代码如下：

 1 template<typename T> static BinNodePosi(T) removeAt(BinNodePosi(T)& x, BinNodePosi(T)& hot)
 2 {
 3     BinNodePosi(T) w = x;//实际被摘除的节点
 4     BinNodePosi(T) succ = NULL;
 5     if (!(x->lc))//如果左孩子为空
 6         succ = x = x->rc;//直接替换为右子树
 7     else if (!(x->rc))//如果右孩子为空
 8         succ = x = x->lc;
 9     else//左右孩子都存在，选择x的直接后继作为实际摘除的节点（可以画个图来理解）
10     {
11         w = w->succ();
12         swap(x->data, w->data);//交换x与其直接后继的数值
13         BinNodePosi(T) u = w->parent;
14         ((u == x) ? u->rc : u->lc) = succ = w->rc;//隔离节点w，把w的孩子与原树连接起来
15     }
16     hot = w->parent;//记录被删除节点的父亲
17     if (succ) succ->parent = hot;//将被删除节点的接替者与hot连接
18     release(w->data); release(w); //释放被删除的节点
19     return succ;//返回后继(接替)
20 }
21 template<typename T> bool RedBlack<T>::remove(const T& e)
22 {
23     BinNodePosi(T)& x = search(e); if (!x) return false;
24     BinNodePosi(T) r = removeAt(x, _hot); if (!(--_size)) return true;//删除后不存在元素直接返回
25     if (!_hot)//删除的节点为根节点
26     {
27         _root->color = RB_BLACK; updateHeight(_root); return true;
28     }
29     if (BalckHegihtUpdated(*_hot)) return true;//如果祖先黑深度依然平衡，即可返回
30     if (IsRed(r))//如果接替的节点为红，直接转为黑即可
31     {
32         r->color = RB_BLACK; r->height++; return true;
33     }
34     //否则，需要进行双黑调整
35     solveDoubleBlack(r); return true;
36 }

 

这样，如果实际被删除的节点x为红色，r为黑色，那么直接删除x，将r接入即可，可以等效视作抛弃w。如果x为黑色，r为红色，那么删除x后将r染黑接入即可。

不过删除的时候，可能造成双黑问题，即被删除的节点和接替的后继，都是黑色，这样会导致局部高度降低，从而不满足红黑树的条件。假设实际被删除节点为x，接替者为r，兄弟为s，兄弟的一个孩子为t，x的父亲为p，在这里把双黑分为四种情况：
（1）s有一个孩子t为红色，另外一个孩子不确定颜色，p的颜色也不确定。此时，可以考虑旋转操作（在B-树中为下溢操作），即s为轴的zig旋转，并且把p和t染黑，s继承p的颜色。这样，删除操作即宣告完成。

（2）s及其两个孩子均为黑色，p为红色。此时，删除x后，可以将p“拉下来”，合并为一个新节点，并且交换p和s的颜色。因为从B-树的意义，p为红色，那么p的兄弟必然有一个为黑色，故不可能发生新的下溢。

（3）s及其两个孩子均为黑色，p为黑色。这种情况，删除x后，同样将p下降一层，并把s染为红色。此时，子树整体黑高度下降，必然引发持续上层下溢，需要继续迭代。

（4）s为红色，p必为黑色。此时，删除x仅造成以x为根的子树高度下降，故从红黑树角度，以p为轴进行一次旋转，并交换s和p的颜色即可。此时会有新的问题，即r的高度并没有恢复。但是，r有了新的兄弟s\'，而s\'必然是黑节点，此时问题转换为了（1）或者（2）:如果s\'有红孩子，那么转换为（1），如果s\'没有红孩子，转换为（2）。因此，这种情况也不需要迭代，只需要4+1或者4+2。

实现代码完全照抄的0 0以后有时间一定自己写一下

 1 template<typename T> void RedBlack<T>::solveDoubleBlack(BinNodePosi(T) r)//输入为用来替换x的后继
 2 {
 3     BinNodePosi(T) p = r ? r->parent : _hot; if (!p) return;//r的父亲，不存在可以直接退出
 4     BinNodePosi(T) s = (p->lc == r) ? p->rc : p->lc;//s为r的兄弟
 5     if (IsBlack(s))//s为黑
 6     {
 7         BinNodePosi(T) t = NULL;//s的红孩子(若左右均红，左优先)
 8         if (IsRed(s->rc)) t = s->rc;
 9         if (IsRed(s->lc)) t = s->lc;
10         if (t)//s为黑且有红孩子的时候(BB-1)
11         {
12             RBColor oldColor = p->color;//备份原子树根节点p的颜色
13             //进行旋转重平衡并将新子树的左右染黑
14             BinNodePosi(T) b = FromParentTo(*p) = rotateAt(t);//返回子树父亲节点
15             if (HasLChild(*b)) { b->lc->color = RB_BLACK; updateHeight(b->lc); }
16             if (HasRChild(*b)) { b->rc->color = RB_BLACK; updateHeight(b->rc); }
17             b->color = oldColor; updateHeight(b);
18         }
19         else//s为黑但是没有红孩子
20         {
21             s->color = RB_RED; s->height--;//s转红
22             if (IsRed(p))//BB-2R
23                 p->color = RB_BLACK;//p转黑但是高度不变
24             else//BB-2B
25             {
26                 p->height--;//p保持黑但是高度下降
27                 solveDoubleBlack(p);//递归上溯
28             }
29         }
30     }
31     else//s为红,p以及s的两个孩子必然都黑
32     {
33         s->color = RB_BLACK; p->color = RB_RED;//s转黑p转红，交换
34         BinNodePosi(T) t = IsLChild(*s) ? s->lc; s->rc;//取t与父亲s同侧
35         _hot = p; FromParentTo(*p) = rotateAt(t);//p原父亲的孩子为现在的根节点
36         solveDoubleBlack(r);//p为红，后续只能为BB-1或BB-2R
37     }
38 }

有问题可以参考邓俊辉大大的原书，虽然我觉得我解释地比原书好一些了，我看原书看了半天才看明白...主要是在二叉搜索树中的removeAt()函数，这个函数会执行一个比较聪明的对策：不真的删除节点后再连接节点，而是交换内部数值后，删除那个交换后的节点，这个实际被删除的节点是原节点的后继，再把子树接入被删除节点的父亲位置_hot。而在这里，x就是这个后继，而r是x的后继，可以说是后继的后继。一切p s r t都是从x来定义的，也就是说从来没有考虑被删除节点原位置的红黑关系，而是直接考虑交换后要删除节点的父亲、兄弟以及后继的红黑关系...这样精简了操作和代码，只需要分为四种情况就可以了，不过理解起来就变得复杂了。