[补档]各种奇怪的韩信问题

Posted 2020-09-30 Mafia

这是两道奇怪的韩信问题

韩信点兵&丧心病狂的韩信大点兵

 

T1 [COGS 1786]韩信点兵

题目

　　韩信是中国军事思想“谋战”派代表人物，被后人奉为“兵仙”、“战神”。“王侯将相”韩信一人全任。“国士无双”、“功高无二，略不世出”是楚汉之时人们对其的评价。作为统帅，他率军出陈仓、定三秦、擒魏、破代、灭赵、降燕、伐齐，直至垓下全歼楚军，无一败绩，天下莫敢与之相争。

　　相传，韩信带兵打仗时，从不直接清点军队人数。有一次，韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人。站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信马上说出人数：1049。

　　这次，刘邦派韩信带兵N人攻打一座重兵驻扎的城市。城市占领了，可汉军也是伤亡惨重。韩信需要知道汉军至少损失了多少兵力，好向刘邦汇报。

　　已知韩信发出了M次命令，对于第i次命令，他选择一个素数Pi，要求士兵每Pi人站一排，此时最后一排剩下了ai人。你的任务是帮助韩信求出这种情况下汉军损失兵力的最小值。当然，由于士兵们都很疲惫，他们有可能站错队伍导致韩信得到的数据有误

 

INPUT

　　第一行两个正整数N,M，分别代表最初的军队人数和韩信的询问次数。

　　接下来有M行，每行两个非负整数Pi，ai，代表韩信选择的素数和此时剩下的人数。

　　输入保证每个素数各不相同

OUTPUT

　　输出一行，一个整数。

　　若有解，输出最小损失人数。若无解，输出-1.

 SAMPLE

 INPUT

1500 3

3 2

5 4

7 6

OUTPUT

31

解题报告

　　CRT裸题

　　CRT：中国剩余定理（中国单身狗定理）

　　设正整数m1,m2,...,mk两两互素，则同余方程组

　　　　x≡a1 (mod m1)

　　　　x≡a2 (mod m2)

　　　　x≡a3 (mod m3)

　　　　 . . . . . .

　　　　x≡ak (mod mk)

　　有整数解，并且在模M=m1×m2×...×mk下的解是唯一的，解为

　　　　x≡(a1×M1×ny(M1)+...+ak×Mk×ny(Mk))mod M

　　其中Mi=M/mi，而ny(Mi)为Mi模mi的逆元

　　代码如下：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long L;
 6 L n;
 7 int m;
 8 L a[11],mod[11];
 9 L M(1),ans(0);
10 inline void extend_gcd(L a,L b,L &x,L &y){
11     if(b==0){
12         x=1;
13         y=0;
14         return;
15     }
16     extend_gcd(b,a%b,x,y);
17     L tmp(x);
18     x=y;
19     y=tmp-(a/b)*y;
20 }
21 inline L CRT(L a[],L m[],int n){
22     for(int i=1;i<=n;i++)
23         M*=m[i];
24     for(int i=1;i<=n;i++){
25         L x,y;
26         L Mi(M/m[i]);
27         extend_gcd(Mi,m[i],x,y);
28         ans=(ans+M+Mi*x*a[i])%M;
29     }
30     //if(ans<0)
31     //    ans+=M;
32     return ans;
33 }
34 inline int gg(){
35     freopen("HanXin.in","r",stdin);
36     freopen("HanXin.out","w",stdout);
37     scanf("%lld%d",&n,&m);
38     for(int i=1;i<=m;i++)
39         scanf("%lld%lld",&mod[i],&a[i]);
40     L ans(CRT(a,mod,m));
41     if(ans>n){
42         puts("-1");
43         return 0;
44     }
45     while(ans<n)
46         ans+=M;
47     ans-=M;
48     printf("%lld",n-ans);
49 }
50 int k(gg());
51 int main(){;}

View Code

需要注意的是，要求的是最小损失人数，稍微处理一下结果即可

[COGS 2160]丧心病狂的韩信大点兵

题目

　　懒得粘了，上链接= =

　　http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=2160

　　这道题显然不能用普通的CRT做，因为它们不互质

　　此时我们就要采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程

　　　　x=a1+m1x1

　　　　x=a2+m2x2

　　那么得到

　　　　a1+m1x1=a2+m2x2 ? m1x1+m2x2=a2-a1

　　再利用扩展欧几里得解出x1的最小整数解，再代入

　　　x=a1+m1x1

得到x后，合并为一个方程的结果为

y≡x(mod lcm(m1,m2))

这样一直合并下去，最终可以求得解

代码如下：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long L;
 6 int m;
 7 L a[21],mod[21];
 8 inline L gcd(L a,L b){
 9     return a%b?gcd(b,a%b):b;
10 }
11 inline L ext_gcd(L a,L b,L &x,L &y){
12     if(b==0){
13         x=1;
14         y=0;
15         return a; 
16     }
17     L gcd(ext_gcd(b,a%b,x,y));
18     L tmp(x);
19     x=y;
20     y=tmp-(a/b)*y;
21     return gcd;
22 }
23 inline L ny(L a,L b){
24     L x,y;
25     L gcd(ext_gcd(a,b,x,y));
26     if(gcd!=1)
27         return -1;
28     return (x%b+b)%b;
29 }
30 inline bool merge(L a1,L m1,L a2,L m2,L &a3,L &m3){
31     L d(gcd(m1,m2));
32     L c=a2-a1;
33     if(c%d)
34         return false;
35     c=(c%m2+m2)%m2;
36     m1/=d;
37     m2/=d;
38     c/=d;
39     c*=ny(m1,m2);
40     c%=m2;
41     c*=m1*d;
42     c+=a1;
43     m3=m1*m2*d;
44     a3=(c%m3+m3)%m3;
45     return true;
46 }
47 L CRT(L a[],L m[],int n){
48     L a1(a[1]),m1(m[1]);
49     for(int i=2;i<=n;i++){
50         L a2(a[i]),m2(m[i]),a3,m3;
51         if(!merge(a1,m1,a2,m2,a3,m3))
52             return -1;
53         a1=a3;
54         m1=m3;
55     }
56     return (a1%m1+m1)%m1;
57 }
58 inline int gg(){
59     freopen("weakhanxin.in","r",stdin);
60     freopen("weakhanxin.out","w",stdout);
61     scanf("%d",&m);
62     for(int i=1;i<=m;i++)
63         scanf("%lld%lld",&mod[i],&a[i]);
64     printf("%lld",CRT(a,mod,m));
65 }
66 int k(gg());
67 int main(){;}

View Code

ps:这份代码是目前COGS上rk1的代码，在各种0.002s中出现一个0.000s，让我这个鶸鷄感觉有些方= =