hdu 6053 TrickGCD (莫比乌斯)

Posted 2020-09-30 simpleknight

题意：给你一个序列a，求序列b满足 ①1<=bi<=ai ②对于序列b[l,r] gcd(bl,...,br)>=2的序列数是多少

思路：显然这道需要我们枚举gcd

          设F(d)是序列b满足gcd是d的倍数的个数

          F(d)的结果显而易见为∏a[i]/d

          根据容斥原理ans=F(2)+F(3)+F(5)-F(6)+F(7)-F(10).....

          根据莫比乌斯，我们可以把它写成ans=∑_d-u(d)∏a[i]/d

          log(n^2)的时间复杂度太高，我们需要进行分块处理

          设f(i,d)是数组a中a/d=i的个数

          那么ans=∑_d=2-u(d)∏_i=1i^f(i,d)，再利用快速幂计算

          时间复杂度降为log(n*log(n)^2)

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const ll mod = 1e9+7;
const ll maxn = 2e5+10;
bool check[maxn];
ll prime[maxn],mu[maxn],sum[maxn];
ll data[maxn],cnt[maxn];

void Moblus()
{
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1]=1;
    int tot=0;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(check[i]==false)
        {
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>maxn) break;
            check[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
}

ll qmod(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    a=a%mod;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=(ans*a)%mod;
        }
        b=b/2;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int t,cas=1,n;
    Moblus();
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        ll minn=maxn+10;
        ll maxx=-1;
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&data[i]);
            minn=min(data[i],minn);
            maxx=max(data[i],maxx);
            cnt[data[i]]++;
        }
        for(int i=1;i<maxn;i++)
        {
            sum[i]=sum[i-1]+cnt[i];
        }
        ll ans=0;
        for(ll i=2;i<=minn;i++)
        {
            ll tmp=1;
            for(ll j=1;j*i<=maxx;j++)
            {
                tmp=tmp*qmod(j,sum[i*j+i-1]-sum[i*j-1])%mod;
            }
            ans=(ans-mu[i]*tmp+mod)%mod;
        }
        cout<<"Case #"<<cas++<<": "<<ans<<endl;
    }
}