[BZOJ3065]带插入区间K小值 解题报告 替罪羊树+值域线段树

Posted 2020-09-30

　　刚了一天的题终于切掉了,数据结构题的代码真**难调,这是我做过的第一道树套树题,做完后感觉对树套树都有阴影了......下面写一下做题记录.

　　Portal Gun:[BZOJ3065]带插入区间k小值.

　　这道题的题面其实都提醒怎么做了,维护区间k小值用值域线段树,但要维护一个插入操作,树状数组套主席树也用不了,那么这道题还剩下平衡树可以搞,那就上平衡树吧.

　　我这里的做法,因为要维护序列的顺序,所以我这里用到替罪羊树套值域线段树:我们在替罪羊树的每个节点都套一颗值域线段树,记录以该节点为根的子树的值域的 size ,替罪羊树中我们维护每一个数在数列中的序号,在插入一个数时,就用它的值去更新插入时经过的所有点,就可以完成插入操作.至于修改操作,其实也就是插入操作,新值 size++ ,旧值 size-- .

　　关于复杂度:对于每次插入,替罪羊树是 O(logn) ,插入值域线段树是 O(logn) ,复杂度为 O(log^2) .对于每次查询,替罪羊树找区间是 O(logn) , 查询值域线段树是 O(logn) ,复杂度为 O(log^2) ,替罪羊树重构复杂度均摊为 O(log^2) .

　　

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define maxn (70005)
#define al 0.75
#define il inline
#define RG register
using namespace std;
il int gi(){ RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while( ( ch<‘0‘ || ch>‘9‘ ) && ch!=‘-‘ ) ch=getchar();
  if( ch==‘-‘ ) q=-1,ch=getchar(); while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x; }

struct node{int l,r,size;}t[maxn*200];//值域线段树
int n,m,ans,flag,root,cnt,Max=70000;
int id[maxn],w[maxn],rt[maxn],ls[maxn],rs[maxn]; //替罪羊树
int sta[maxn*100],top;  //存回收节点

il int newnode(){ if(!top) return ++cnt; else return sta[top--]; }

il bool BALANCE(int x){
  return t[ rt[x] ].size*al>t[ rt[ls[x]] ].size
    && t[ rt[x] ].size*al>t[ rt[rs[x]] ].size;
}

il void recycle(int &x){
  if(!x) return ; sta[++top]=x;
  recycle(t[x].l),recycle(t[x].r);
  t[x].size=0,x=0;
}

il void insert(RG int &x,RG int l,RG int r,RG int val,RG int sum){ //线段树插入
  if(!x) x=newnode();
  if(l==r){ t[x].size+=sum; return ; }
  RG int mid=(l+r)>>1;
  if(val<=mid) insert( t[x].l,l,mid,val,sum );
  else insert( t[x].r,mid+1,r,val,sum );
  t[x].size=t[ t[x].l ].size+t[ t[x].r ].size;
  if(!t[x].size) recycle(x);
}

il void build(RG int &x,RG int l,RG int r){
  if(l>r) return ;
  if(l==r){ x=id[l]; insert(rt[x],0,Max,w[x],1); return ; }
  RG int mid=(l+r)>>1; x=id[mid];
  build(ls[x],l,mid-1); build(rs[x],mid+1,r);
  for(RG int i=l;i<=r;i++) insert(rt[x],0,Max,w[id[i]],1);
}

int cur[maxn*100],c_size;

il void dfs(RG int &x){
  if(!x) return ; recycle(rt[x]);
  dfs(ls[x]); cur[++c_size]=x; dfs(rs[x]);
  x=0;
}

il void REBUILD(int &x){
  dfs(x);
  for(RG int i=1;i<=c_size;i++) id[i]=cur[i];
  build(x,1,c_size); c_size=0;
}

il void INSERT(RG int &x,RG int l,RG int val){
  if(!x){  
    x=++n; w[x]=val;
    insert(rt[x],0,Max,val,1);
    return ;
  }
  insert( rt[x],0,Max,val,1 );
  int L=t[ rt[ ls[x] ] ].size;
  if(l<=L) INSERT(ls[x],l,val);
  else INSERT(rs[x],l-L-1,val);
  if(BALANCE(x)){ if(flag){
      if(ls[x]==flag) REBUILD(ls[x]);
      else REBUILD(rs[x]); flag=0;
    }
  }
  else{ flag=x; if(flag==root) REBUILD(root); }
}

il int modify(RG int x,RG int l,RG int val){
  insert(rt[x],0,Max,val,1);  //插入新值
  int tt,L=t[ rt[ls[x]] ].size;
  if(l==L+1){ tt=w[x]; w[x]=val; }
  else if(l<=L) tt=modify(ls[x],l,val);
  else tt=modify(rs[x],l-L-1,val);
  insert(rt[x],0,Max,tt,-1);  //删除原值
  return tt;
}

int tt[maxn*100],t_size,v[maxn*100],v_size;

il void query(int k,int l,int r){
  int L=t[ rt[ ls[k] ] ].size,R=t[ rt[k] ].size;
  if(l==1 && r==R){ tt[++t_size]=rt[k]; return ; }
  if(l<=L+1 && r>=L+1) v[++v_size]=w[k];
  if(r<=L) query(ls[k],l,r);
  else if(l>L+1) query(rs[k],l-L-1,r-L-1);
  else{
    if(l<=L) query(ls[k],l,L);
    if(R>L+1) query(rs[k],1,r-L-1);
  }
}

il int QUERY(int L,int R,int k){
  query(root,L,R); k--;
  int l=0,r=Max;
  while(l<r){
    RG int mid=(l+r)>>1,sum=0;
    for(RG int i=1;i<=t_size;i++) sum+=t[ t[ tt[i] ].l ].size;
    for(RG int i=1;i<=v_size;i++) if(v[i]>=l && v[i]<=mid) sum++;
    if(k<sum){
      for(RG int i=1;i<=t_size;i++) tt[i]=t[ tt[i] ].l;
      r=mid;
    }
    else{
      for(RG int i=1;i<=t_size;i++) tt[i]=t[ tt[i] ].r;
      l=mid+1,k-=sum;
    }
  }
  t_size=0,v_size=0;
  return l;
}

il void init(){
  n=gi(); for(RG int i=1;i<=n;i++) w[i]=gi(),id[i]=i;
  build(root,1,n);
}

il void work(){
  m=gi(); char s[2]; int x,y,k;
  while(m--){
    scanf("%s",s);
    x=gi()^ans,y=gi()^ans;
    if(s[0]==‘M‘) modify(root,x,y);
    if(s[0]==‘I‘){ flag=0; INSERT(root,x-1,y); }
    if(s[0]==‘Q‘){ k=gi()^ans;ans=QUERY(x,y,k);printf("%d\n",ans); }
  }
}

int main(){ init(); work(); return 0; }