并查集的理解

Posted 2020-09-30 Hunter丶安

从数学的角度来说，假设我们有n个集合{{..},{..},.......}，而每个集合内又有众多的元素{A，B，C.....},{1,2,3,4......}等等，每个集合的元素都存在这或多或少的联系，什么联系不清楚，但我们只需知道存在这样的关系即可；而突然，我们希望让集合之间也联系起来，而又不想一个一个的将它们绑到一起，那么，并查集就是解决它们之间联系的数据结构。树就是我们需要用到的一种连接结构。

并查集一般包含三个主体：

　　　　　　　　1. makeSet（）；建立一个数组并储存每一个数的节点（可以看成他们所处在的队伍的编号）；

             for(int i=1;i<=n;i++)
                     per[i] = i;

 

　　　　　　　　  2.Find（int  x）；查找x的根节点，也就是x所队伍的代表人（代表人特征 ：Find（n）=n）；

               int find(int p)  
               {  
                     while(p != id[p])  
                    {  
                          p = id[p];  
                     }  
                return p;  
                }        

 

• • • • 在这里我们简单的思考一下Find的效率问题，我们通过不断个根节点添加子节点的方式（也就是树），将两者联系在一起，如果树的路径变得很长，就需要从下到上一直访问下去，效率就大大降低，因此我们需要想个办法决绝路径过长的问题；
      • 路径压缩：所有的子节点，还是子子节点，全部直接连接到根节点上去；

        int Find(int x)
        {
            if(per[x]!=x)
                per[x] = Find(per[x]);//把属于一个队伍的人全部和老大联系起来；
            return per[x];
        }
        

　　　　　　　　3.unionSet(int x,int y) :将两个关联的点连接起来；

              void Union(int a,int b)
              {
                  //if(Find(a)!=Find(b))
                     //per[Find(a)]=b;
　　　　　　　　　　　　int ax = Find(a);
　　　　　　　　　　　　int bx = Find(b);
　　　　　　　　　　　　if(ax!=bx)
　　　　　　　　　　　　　　per[ax]=b;
　　　　　　　  }

 

　　在这里，我们考虑下per[ax] = b,为甚么一定是这样的，而不是per[bx] = a呢？是不是很奇怪；其实无论哪种都没有错，都可以将两者联系；但我们思考一下，如果总是固定的一个添加方法，如果出现子树远远大于根数，那么连接起来的情况就会很离奇。树的路径就会变得很大，因此我们自然会想到，那就把小的连接到大的不就好了；而Find（）方法的效率取决于树的路径大小，那么我们不就又提高了代码的效率了吗?

void unionSet(int p, int q)  
{  
    int i = find(p);  
    int j = find(q);  
    if (i == j) return;  
    if (sz[i] < sz[j])//sz[]用来记录树的size；
         { id[i] = j; sz[j] += sz[i]; }  
    else 
        { id[j] = i; sz[i] += sz[j]; }  
    count--;  
}