生成函数与指数型生成函数

Posted 2020-09-30

1.　生成函数

1.1.　生成函数的概念

　　我们要研究一个数列的结构.

　　我们尝试构造一个函数, 来包含这个数列的信息.

　　如果这个函数能够成功地转化, 得到等价的展开形式, 那么就大功告成了.

 

　　为此, 我们给出了生成函数的定义:

　　数列 $A = \left\{ a_0, a_1, ..., a_n \right\}$ 的生成函数为 $f(x) = \sum_{k = 0} ^ n a_k x ^ k$ .

　　为了防止每次都要定义序列, 我们记数列的第 $n$ 项, 即 $f(x) 的第 $n$ 项系数, 为 $a_n = [n]f(x)$ .

 

　　给出了定义之后, 我们需要探究一些特殊的情形.

　　这些特殊的情况, 即能促进对概念的理解和补充, 也能在之后有所应用.

 

　　$\left\{ \binom{n}{0}, \binom{n}{1}, ..., \binom{n}{n} \right\}$ 的生成函数为

　　　　$$f(x) = \sum_{k = 0} ^ n \binom{n}{k} x ^ k = {(1 + x)} ^ n$$

　　说明　　二项式定理.

 

　　$\left\{ 1, 1, 1, ... \right\}$ 的生成函数为

　　　　$$f(x) = \sum_{k= 0} ^ {\infty} x ^ k = \frac{1}{1 - x}$$

　　说明　　无穷项等比数列求和.

 

　　$$\frac{1}{1 - x ^ n} = \sum_{k = 0}^ \infty \binom{k + n - 1}{n - 1} x ^ k$$

　　证明　　组合推理, 插板法.

1.2.　生成函数的性质

　　理解清楚生成函数的定义之后, 我们要研究它的性质, 以便于更好地在应用中施展这门技术.

　　主要是研究它的一些运算性质, 其中卷积的性质是重中之重.

　　

　　统一设 $f(x) = \sum_{k = 0} ^ n a_k x ^ k, g(x) = \sum_{k = 0} ^ n b_k x ^ k$ .

　　基本定理　$f(x) = g(x) \Leftrightarrow \forall i \in [0, n] a_i = b_i$ .

　　线性性质　　$f(x) + g(x)$ 为 $\left\{ a_k + b_k \right\}$ 的生成函数.

　　　　$f(x) - g(x)$ 为 $\left\{ a_k + b_k \right\}$ 的生成函数.

　　　　$cf(x)$ 为 $\left\{ ca_k \right\}$ 的生成函数.

　　卷积　　$(f\otimes g)(x)$ 为 $\left\{ \sum_{k = i + j} a_i \times b_j \right\}$ 的生成函数.

1.3.　求解递推式

　　设出生成函数, 求解生成函数, 裂项, 展开.

1.4.　组合计数

　　设购买 A 物品 $n$ 件的方案数为 $a_n$ , 购买 B 物品的方案数为 $b_n$ .

　　则组合购买 A , B 两种物品 (既可以购买 A 物品, 又可以购买 B 物品) , 一共 $n$ 件的方案数为 $\sum_{i + j = n} a_i \times b_j$ .

　　所以 $\left\{ a_k \right\}$ 的生成函数 卷上 $\left\{ b_k \right\}$ 的生成函数 为 组合购买的方案数的生成函数.

2.　指数型生成函数