次小生成树(SST)

Posted 2020-09-30 kakakakakaka

次小生成树(SST)

题目背景

Awson是某国际学校信竞组的一只菜鸡。Awson最近学了很多最小生成树的算法，Prim算法、Kurskal算法、消圈算法等等。正当Awson洋洋得意之时，信竞组其他大佬又来泼Awson冷水了。

题目描述

他们说，让Awson求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是E_M，严格次小生成树选择的边集是E_S，那么需要满足：              (value(e) 表示边 e的权值)这下Awson蒙了，他找到

 

了你，希望你帮他解决这个问题。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。

接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

输出格式：

包含一行，可能是一个数或者是一串字符：

若存在严格的次小生成树，输出一个数，表示严格次小生成树的边权和。

若不存在最小生成树，输出”No MST!”（半角字符，不含引号）。

若不存在严格的次小生成树，输出”No SST!”（半角字符，不含引号）。

输入输出样例

输入样例：

5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6

输出样例：

11

说明

样例解释：

最小生成树边权和为10，严格的次小生成树边权和为11。

数据规模：

50%的数据N≤2 000， M≤3 000；

80%的数据N≤10 000 ，M≤100 000；

100%的数据N≤50 000 ，M≤300 000，边权值非负且不超过 10⁹，数据中无向图无自环 。

题解：

 

三种次小生成树的算法只能用LCA做，Prim会爆空间爆内存，Kruskal只能求非严格的次小生成树。

 

唯一比较麻烦的是要求求出严格的次小生成树。所以处理的时候除了要求出路径上的最大边，还要求出次大边。

 

这题50%的数据暴力直接水过去。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define inf (2000000000)
using namespace std;
typedef long long lol;
lol n,m,tot,ans=inf,mmax,mmin,cnt;
bool v[300005];
struct student{lol u,v,c;}a[300005];
bool cmp(const student a,const student b){return a.c<b.c;}
lol head[50001],size=1;
struct node{lol next,to,dis;}edge[300005];
void putin(lol from,lol to,lol dis){size++;edge[size].to=to;edge[size].next=head[from];edge[size].dis=dis;head[from]=size;}
void in(lol from,lol to,lol dis){putin(from,to,dis);putin(to,from,dis);}
lol father[50005];
lol find(lol x){if(father[x]==x)return x;else return father[x]=find(father[x]);}
lol fa[50005][25],vis[50005],depth[50005],dis[50005][25],dist[50005][25];
void dfs(lol r)
{
    vis[r]=1;lol i;
    for(i=head[r];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        lol y=edge[i].to;
        if(!vis[y]){depth[y]=depth[r]+1;fa[y][0]=r;dis[y][0]=edge[i].dis;dfs(y);}
    }
}
void make()
{
    lol i,j,len=log2(n);
    for(j=1;j<=len;j++)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            dis[i][j]=max(dis[fa[i][j-1]][j-1],dis[i][j-1]);
            
            if(dis[fa[i][j-1]][j-1]!=dis[i][j-1])dist[i][j]=dis[fa[i][j-1]][j-1]+dis[i][j-1]-dis[i][j];
            dist[i][j]=max(dist[i][j],max(dist[fa[i][j-1]][j-1],dist[i][j-1]));
            fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
        }
    }
}
void RMQ(lol x,lol y)
{
    mmax=0;mmin=0;
    lol i,op=log2(n);
    if(depth[x]<depth[y])swap(x,y);
    for(i=op;i>=0;i--)
    if(depth[fa[x][i]]>=depth[y])
    {
        if(mmax!=dis[x][i])mmin=max(mmin,min(mmax,dis[x][i]));
        mmin=max(mmin,dist[x][i]);
        mmax=max(mmax,dis[x][i]);
        x=fa[x][i];
    }
    if(x!=y)
    {
        for(i=op;i>=0;i--)
        if(fa[x][i]!=fa[y][i])
        {
            if(mmax!=dis[x][i])mmin=max(mmin,min(mmax,dis[x][i]));
            mmin=max(mmin,dist[x][i]);
            mmax=max(mmax,dis[x][i]);
            if(mmax!=dis[y][i])mmin=max(mmin,min(mmax,dis[y][i]));
            mmin=max(mmin,dist[y][i]);
            mmax=max(mmax,dis[y][i]);
            x=fa[x][i];y=fa[y][i];
        }
        if(mmax!=dis[x][0])mmin=max(mmin,min(mmax,dis[x][0]));
        mmin=max(mmin,dist[x][0]);
        mmax=max(mmax,dis[x][0]);
        if(mmax!=dis[y][0])mmin=max(mmin,min(mmax,dis[y][0]));
        mmin=max(mmin,dist[y][0]);
        mmax=max(mmax,dis[y][0]);
        x=fa[x][0];y=fa[y][0];
    }
    return;
}
lol gi()
{
    lol ans=0,f=1;
    char i=getchar();
    while(i<‘0‘||i>‘9‘){if(i==‘-‘)f=-1;i=getchar();}
    while(i>=‘0‘&&i<=‘9‘){ans=ans*10+i-‘0‘;i=getchar();}
    return ans*f;
}
int main()
{
    freopen("SST.in","r",stdin);
    freopen("SST.out","w",stdout);
    lol i,j;
    n=gi();m=gi();
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(i=1;i<=n;i++)father[i]=i;
    for(i=1;i<=m;i++){a[i].u=gi();a[i].v=gi();a[i].c=gi();}
    sort(a+1,a+m+1,cmp);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        lol p=find(a[i].u),q=find(a[i].v);
        if(p!=q){v[i]=1;father[p]=q;in(a[i].u,a[i].v,a[i].c);cnt++;tot+=a[i].c;}
    }
    if(cnt!=n-1)
    {
        printf("No MST!\n");
        return 0;
    }
    dfs(1);make();
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            RMQ(a[i].u,a[i].v);
            if(a[i].c!=mmax)ans=min(ans,a[i].c-mmax);
            if(a[i].c==mmax&&mmin!=0)ans=min(ans,a[i].c-mmin);
        }
    }
    if(ans==inf)printf("No SST!\n");
    else printf("%lld\n",tot+ans);
    return 0;
}