三：计算机进行小数运算时出错的原因

Posted 2020-09-30 神一样的孩子

0、开篇：

（1）二进制数0.1，用十进制数表示的话是多少？

     0.5

（2）用小数点后有3位的二进制数，能表示十进制数0.625吗？

     可以，0.101

（3）将小数分为符号、尾数、基数、指数4部分进行表现的形式称为什么？

     浮点数（浮点数形式）

（4）二进制数的基数是什么？

     2

（5）通过把0作为数值范围的中间值，从而在不使用符号位的情况下来表示负数的表示方法称为什么？

     EXCESS系统表示（EXCESS是“剩余的”的意思。例如，把01111111看作是0的话，比这个数小1的01111110就是-1）

（6）10101100.01010011这个二进制数，用十六进制数表示的话是多少？

     AC.53

1、将0.1累加100次也得不到10

2、用二进制数表示小数

　　先来一个热身，把1011.0011这个有小数点的二进制数转换成十进制数（前面章节已经讲过了用二进制来表示整数的方法，其实小数也一样），如下图所示：

　　

3、计算机运算出错的原因

　　 通过第2节的学习，大家应该也能大概知道计算机运算出错的原因了：是因为“有一些十进制数的小数无法转换成二进制数”。例如十进制数0.1，就无法用二进制数正确表示，小数点后面即使有几百位也无法表示。

     　我们就看小数点后4位用二进制数表示时的数值范围0.0000~0.1111，如下图所示：

　　

　　这里只能表示0.5 、 0.25 、 0.125 、0.0625这四个二进制数小数点后面的位权组合而成（相加总和）的小数。再回到我们要表示的0.1，怎么加都无法加到0.1的，只会变成0.00011001100...（1100的循环），不信你可以去试试。

       说到这里，大家应该都能明白为什么将0.1累加100次也得不到10的原因了把，因为无法正确表示的数值，最后都变成了近似值。计算机是一个功能有限的机器设备，是无法处理无限循环的小数的，一般计算机都会从中间截断。

4、什么是浮点数

　　像1011.0011这样带小数点的表现形式，完全是纸面上的二进制数表现形式，在计算机内部是无法使用的。这一章节主要是说明计算机是以什么样的表现形式来处理小数。很多编程语言中都提供了两种表示小数的数据类型，分别是双精度浮点数与单精度浮点数。双精度浮点数类型用64位、单精度浮点数用32位来表示全体小数。从C语言中，双精度浮点数类型和单精度浮点数类型分别用double和float来表示。

　　浮点数是指符号、尾数、基数和指数这四个部分来表示的小数，如下图：

　　

　　因为计算机内部使用的是二进制，所以基数自然就是2.因此，实际的数据中往往不考虑基数，只用符号、尾数、指数这三部分即可表示浮点数。也就是说，64位（双精度浮点数）和32位（单精度浮点数）的数据，会被分为三部分来使用，如下图展示：

　　

 　① 符号部分：是指使用一个数据位来表示数值的符号。该数据位是1时表示负，为0时则表示“正或者0”。

     ② 尾数部分：数值大小的决定部分之一（另外一个是指数部分）。尾数部分用的是“将小数点前面的值固定为1的正则表达式”。

     ③ 指数部分：用的则是EXCESS系统表现。

5、正则表达式和EXCESS系统

　　 ① 尾数部分使用正则表达式，可以将表现形式多样的浮点数统一为一种表现形式。例如十进制的0.75就有很多种表现形式：

　　　

      正因为表现形式太多，计算机处理时就会比较麻烦。因此，为了方便计算机处理，需要制定一个统一的规则。例如，十进制数的浮点数应该遵循“小数点前面是0，小数点后面第1位不能是0”这样的规则。根据这个规则，0.75就是“0.75 * 10的0次幂”，也就是说，只能用尾数部分是0.75、指数部分是0这个方法来表示。根据这个规则来表示小数的方式，就是正则表达式。

     二进制数也是同样的道理，在二进制数中，我们使用的是“将小数点前面的值固定为1的正则表达式”。具体来讲，就是将二进制数表示的小数左移或右移（这里是逻辑移位。因为符号位是独立的）数次后，正数部分的第1位变为1，第2位之后都变为0（这样是为了消除第2位以上的数位）。而且，第1位的1在实际的数据中不保存。由于第1位必须是1，因此，省略该部分后就节省了一个数据位，从而也就可以表示更多的数据范围。

下图是单精度浮点数的正则表达式的具体例子（单精度浮点数中，尾数部分是23位）：

　　

6、在实际的程序中进行确认

　　对EXCESS系统与正则表达式了解了吗，如果还没有了解，就返回上一小节再看一看，我也是看了几遍才看懂的，如果看懂了，就往下看，用C语言程序来确认单精度浮点数表示方法。

7、如何避免计算机计算出错　

 　 计算机计算出错的原因之一是采用浮点数来处理小数（另外，也有因“位溢出”而造成计算错误的情况）。作为程序的数据类型，不管是使用单精度浮点数还是双精度浮点数，都存在计算出错的可能性。接下来会介绍两种避免该问题的方法。

     ① 回避策略，即无视这个错误，只要得到近似值就可以了，那些微小的误差完全可以忽略掉。

     ② 把小数转换成正数来计算。

8、二进制数和十六进制数　

 　 最后补充说明一下二进制数和十六进制数的关系。在实际程序中，如果二进制位数太多，看起来会比较麻烦，因此，在实际程序中，也经常会用十六进制数来代替二进制数。二进制数的4位，正好相当于十六进制数的1位。例如，32位二进制数00111101110011001100110011001101用十六进制数来表示的话，就是3DCCCCCD这个8位数。由此可见，通过使用十六进制数，二进制数的位数能够缩短至原来的1/4 。

     用十六进制数来表示二进制小数时，小数点后的二进制数的4位同样相当于十六进制的1位。不够4位时用0填补二进制数的低位即可。例如，1011.011的低位补0后为1011.0110，这时就可以表示为十六进制数B.6 。