常微分方程1：与方程联系的相流

Posted 2020-09-30

1.1 向量场

 

中一开集上的向量场指的是上的一个向量值函数:

 

 

1.2 常微分方程

 

上的常微分方程指的是形如 :

 

    

 

 

的方程，其中是定义在

 

上的向量场.若有是定义在中某个开集上的向量值函数使上述方程成立，则称是该方程在上的解。

 

1.3 右端自治情况下的意义

 

若与无关，则方程的意思是:

 

是否存在这样的曲线，使它在每一点处的切向量正好是给定的向量场在这一点处的取值?

 

从运动学角度来看，如果左端和右端都是一维的情形，方程的意思是,是否存在上的这样一种运动，使得在每一点的运动速度是给定的数值?

 

右端与t无关的情形，称方程是一个自治系统，否则是非自治的。

 

1.4  微分方程的基本问题

 

一般来说，方程需要一个定解条件，更具体一点，是形如:

 

    

 

的限制条件。它指的是曲线或者运动在某一刻的位置，常常取=0，表示初始时刻的运动状态。

 

显然我们会碰到这样的问题:

 

1.方程是否存在满足和在附近的一个解？

 

2.这个解是否在其存在区间上是唯一的?

 

3.这个解能在多大的范围内存在?

 

我们可以先看两个例子:

 

1.

 

显然，是方程的解，并且它在整个区间上存在。它实际上是唯一的解(初等积分法可以求出)

 

2.

 

方程在附近存在唯一解

 

 

注意到解不能延拓到1的右侧，所以该方程的解的存在区间是有限的。

 

1.5 微分同胚

 

双射:

 

是微分同胚，如果和都是光滑映射。

 

微分同胚的存在性必然表明.或者说，维数是微分同胚意义下的不变量.

 

1.6 相流

 

相流是上的一族自微分同胚，满足以下两个条件:

 

1.是自微分同胚族，

2.(群条件) 

 

 

1.7  由特殊的自治方程所决定的相流

 

若自治方程在初始条件下均在整个实轴上存在唯一的解，则这样的自治方程可以确定相流.

 

定义：

 

 

其中是自治方程在初始条件

 

 

的解在时刻时的位置。

 

定理1.7.1

 

1.由上述方法确定的是微分同胚

 

2.是一族相流.

 

注意到是方程在初始条件

 

 

下的解。它是无限延伸的曲线，称为过点处的相曲线。可以知道，过每一点处只有唯一的一条相曲线(由假定的唯一性).

 

1.7.1的2证明是容易的，只需注意到这样一件事实:

 

如果是自治方程的解，则同样是方程的解.

 

而1我们目前还没法证明的可微性，这实际上是解对初值条件的可微依赖性，我们先假定自治方程满足大范围存在性和整体唯一性的时候是成立的。过后我们会用常微分方程基本定理来证明它。

 

1.8 相流决定的向量场

 

给定，考虑

 

 

右侧是在零时刻求的导数。它得到了上的一个向量场。

 

1.9 相流，向量场和自治方程的关系

 

思考以下三句话:

 

1.相流可以确定向量场(在1.8的意义下)

 

2.向量场可以得到自治方程

 

3.特殊的自治方程可以得到相流