O（n）求素数，求欧拉函数，求莫比乌斯函数，求对mod的逆元，各种求

Posted 2020-09-30 slgkaifa

筛素数

void shai()
{
    no[1]=true;no[0]=true;
    for(int i=2;i<=r;i++)
    {
        if(!no[i])
            p[++p[0]]=i;
        int j=1,t=i*p[1];
        while(j<=p[0] && t<=r)
        {
            no[t]=true;
            if(i%p[j]==0) //每一个数字都有最小质因子。这里往后的数都会被筛过的，break
                break;
            t=i*p[++j];
        }
    }
}

O（n）筛欧拉函数

void find()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn-1;i++)
    {
        if(!is_prime[i]){prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;}
        int j=1,t=2*i;
        while(j<=cnt&&t<=maxn-1)
        {
            is_prime[t]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {                        //欧拉函数公式是phi[i]=i*(1-1/p1)*(1-1/p2)..
                phi[t]=phi[i]*prime[j];//质因子同样，仅仅有i不同，且t=prime[j]*i，故作此
                break;
            }
            else phi[t]=phi[i]*(prime[j]-1);//质因子不一样，由于欧拉函数是积性函数，就是
            j++;t=prime[j]*i;     //=phi[i]*phi[j]
        }
    }
}

sqrt(n)求单个欧拉函数

long long phi(long long x)
{
    long long t=x,l=sqrt(x);
    for(long long i=2;i<=l;i++)
    if(x%i==0)
    {
        t=t/i*(i-1);   //欧拉函数公式，一定是先除再加
        while(x%i==0)
            x/=i;
    }
    if(x>1)     //对x大于sqrt(x)的质因子最多有1个
        t=t/x*(x-1);
    return t;
}

O（n）筛莫比乌斯函数

void shai()
{
    no[1]=1;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxl;i++)
    {
        if(!no[i])
            p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;//仅仅有1个质因数，所以为-1
        int j=1,t=p[1]*i;
        while(j<=p[0] && t<=maxl)
        {
            no[t]=1;
            if(i%p[j]==0)
            {
                mu[t]=0;//某质因数的指数不为1。依据定义=0
                break;
            }
            mu[t]=-mu[i];//依据定义，当x=p1*p2*..*pk,mu[x]=（-1）^k。
            t=p[++j]*i;  //这里多一个质因数，自然就多乘一个-1
        }
    }
}

O（n）求1到n对mod的逆元
转自http://blog.csdn.net/whyorwhnt/article/details/19169035

inv[i] = ( MOD - MOD / i ) * inv[MOD%i] % MOD

证明：

设t = MOD / i , k = MOD % i

则有 t * i + k == 0 % MOD

有 -t * i == k % MOD

两边同一时候除以ik得到

-t * inv[k] == inv[i] % MOD

即

inv[i] == -MOD / i * inv[MOD%i]

即

inv[i] == ( MOD - MOD / i) * inv[MOD%i]

证毕

适用于MOD是质数的情况。可以O(n)时间求出1~n对模MOD的逆元

inv[1]=1;
for(long long i=2;i<maxl && i<mod;i++)
    inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;