数据结构与算法-红黑树

Posted 2020-09-30 holoyong

前言

红黑树是工程中最常用到的一种自平衡二叉排序树，其和AVL树类似，都是在进行插入、删除时通过一定的调整操作来维持相对稳定的树高，从而获得较好的查询性能。

性质

1. 节点是红色或黑色。

2. 根节点是黑色。

3 每个叶节点（null节点）是黑色的。

4 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

5. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

维护红黑树形状（树高）的，主要就是4、5两条性质，性质4决定了最长的路径莫过于红黑间隔的路径，性质5决定了最短的路径莫过于全黑路径，并且每条路径上的黑色节点数都相同（相当关键），二者共同决定了最长路径最多是最短路径的2倍。

 

插入操作

插入的节点，应当是红色的，因为在叶节点插入红色节点不会违反性质5，而性质5恰恰是最难维护的。红黑树在插入操作后，需要维护性质2、4、5。

情况1：插入的是根节点。

原树是空树，此情况只会违反性质2，直接把此节点反转为黑色即可。

情况2：插入的节点的父节点是黑色。

此不会违反性质2和性质4，红黑树没有被破坏，什么也不做。

情况3：插入节点的父节点是红色且叔叔节点是红色。

这种情况违反了性质4（新插入节点与父节点构成了连续的两个红节点），由于父节点与叔叔节点同为红色，故可将二者同置为黑色（此时违反了性质5），并将祖父节点置为红色（之前祖父节点一定为黑色）（遵守了性质5）。

N为插入节点

调整前

 调整后

 

情况4：当前节点的父节点是红色,叔叔节点是黑色，当前节点是其父节点的右子节点。

这种情况是最不好解决的，因为不管如何也无法通过一次变色或一次旋转完成调整，这种情况通常会与情况5结合使用，首先以插入节点的父节点为轴左旋。

调整前

调整后

情况5：当前节点的父节点是红色,叔叔节点是黑色，当前节点是其父节点的左子节点。
接情况4，将插入节点的父节点置黑、祖父节点置红，以祖父节点为轴右旋。

调整前

 

调整后

 

总结

红黑树并不追求“完全平衡”——它只要求达到一种相对平衡（而AVL对平衡的要求就很严格，为之做出的努力也越多），降低了对旋转的要求，从而提高了性能。红黑树能够以O(log2 n) 的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。此外，由于它的设计，任何不平衡都会在三次旋转之内解决。当然，还有一些更好的，但实现起来更复杂的数据结构，能够做到一步旋转之内达到平衡，但红黑树能够给我们一个比较“便宜”的解决方案。

参考：http://www.imooc.com/article/11715

　　https://www.ibm.com/developerworks/cn/java/j-lo-tree/index.html