CPC23-4-K. 喵喵的神数 （数论 Lucas定理）

Posted 2020-09-30 yxysuanfa

喵喵的神?数

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Description
喵喵对组合数比較感兴趣，而且对计算组合数很在行。

同一时候为了追求有后宫的素养的生活，喵喵每天都要研究
质数。

我们先来复习一下什么叫做组合数。对于正整数P、T  
                                                       
然后我们再来复习一下什么叫质数。质数就是素数，假设说正整数N的约数仅仅有1和它本身，N就是质数；另外。
1不是质数。
今天，喵喵想要知道

                                 
Input
输入第一行是一个整数N（N<=1000）。
接下来N行，每行包含一个正整数T和一个质数P（1<=P<=T<231）。
Output
包含N行，依据输入的顺序。每一行为一个整数：
Sample Input
2
3 2
10 3
Sample Output
1
0
HINT
Source
CPC3

解题思路：

这题是纯数学题，唉，数学就是硬伤啊！

搞了半天。没有结果。果断百度了一下，结果搜到了不明觉历的Lucas定理，据说是专门解决C(n, m)%p的，当中p是质数。

Lucas定理叙述例如以下：

        数论Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合。模上p）。

描写叙述为:

Lucas(n,m,p)=cm(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)

Lucas(x,0,p)=1;

本题中，让求的是,所以。n = p, 代入得 Lucas(n,m,p)  =   cm(n%p, m%p)* Lucas(n/p, m/p, p)

                                                                                                             =    cm(n%p, p%p)* Lucas(n/p, p/p, p)

                                                                                                             =    cm(n%p, 0)* Lucas(n/p, 1, p)

                                                                                                             =    1 * Lucas(n/p, 1, p)

                                                                                                             =    C(n/p, 1) % p 

=    C(n/p, 1) % p 

=    ( n/p ) % p

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int main(){
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	int n, t, p;
	cin >> n;
	while(n--){
		cin >> t >> p;
		cout << (t / p) % p << endl;
 	}
 	return 0;
}