HDU 2045 LELE的RPG难题（递推）

Posted 2020-09-30 Roni

不容易系列之(3)—— LELE的RPG难题

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Problem Description

人称“AC女之杀手”的超级偶像LELE最近忽然玩起了深沉，这可急坏了众多“Cole”（LELE的粉丝,即"可乐"）,经过多方打探，某资深Cole终于知道了原因，原来，LELE最近研究起了著名的RPG难题:

有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法.

以上就是著名的RPG难题.

如果你是Cole,我想你一定会想尽办法帮助LELE解决这个问题的;如果不是,看在众多漂亮的痛不欲生的Cole女的面子上,你也不会袖手旁观吧?

Input

输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,由一个整数N组成，(0<n<=50)。

 

Output

对于每个测试实例，请输出全部的满足要求的涂法，每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

1 2

Sample Output

3 6

 

 

 

 【分析】：

1.也是一道递推找规律的题，首先易知f(1)=3;f(2)=6;f(3)=6;f(4)=18;

现在考虑n>3的情况，若第n-1个格子和第一个格子不同，则为f(n-1)；

若第n-1个格子和第1个格子相同，则第n-2个格子和第一个格子必然不同，此时为f(n-2)再乘第n-1个格子的颜色数，很显然第n-1个格子可以是第一个格子（即第n-2个格子）的颜色外的另外两种，这样为2*f(n-2)；

因此总的情况为f(n)=f(n-1)+2*f(n-2);

2.如果不考虑首尾颜色不同的话，那每次 a[i]=a[i-1]*2;

但是要考虑首尾不同，设a[i]是不考虑首尾不同的数组，那么考虑首尾不同的下标为i的数值为

a[i-1]中的首尾相同的部分*2  + a[i-1]中首尾不同部分*1；

首尾不同的和首尾相同的之和等于a[i]且a[i-1]中首尾相同的部分等与a[i-2]中首尾首尾不同的部分。

 

3.考虑长为n的串。若前n-1位组成的串合法，则由于首尾不同，再添加一位时，只有1种颜色可选；若前n-1位组成的串不合法（首尾相同），那么前n-2位组成的串必须合法（因为最终要组成的n位是合法的）。此时第n位有2种颜色可选。故f(n)=f(n-1)+2*f(n-2)。

边界条件：f(1)=3，f(2)=f(3)=6。

PS：可用特征方程得出n>3时f(n)的封闭形式f(n)=2^n+2*(-1)^n。

4.a[i]=分两种，
  1） 前i-1首尾不同 ，个数刚好a[i-1]。
  2） 前i-1首尾相同 ，显然第一个与第i-2个颜色就不能相同了，个数刚好a[i-2]， 但是此时最后一个可以取两种颜色。

5.分析到n的合法涂法总数：
              1）n-1与1的颜色一样， 既然n-1与1同色，说明n-2一定不与1同色，那么，则对于第n个格子有两种涂色方法
                  即：2*f[n-2];
              2）n-1与1的颜色不一样，那么，第n个格子的涂色方式只有一种
                  即：f[n-1]
              3）f[n]=f[n-1]+2*f[n-2];
 

#include <stdio.h>
int main()
{
	int i,n;
	__int64 a[51]={3,6,6};
	for (i=3;i<51;i++)
		a[i]=a[i-1]+a[i-2]*2;
	while (scanf("%d",&n)!=EOF)
		printf("%I64d\n",a[n-1]);
	return 0;
}