[NOI 2010]超级钢琴

Posted 2020-09-30 NaVi_Awson

Description

小Z是一个小有名气的钢琴家，最近C博士送给了小Z一架超级钢琴，小Z希望能够用这架钢琴创作出世界上最美妙 的音乐。 这架超级钢琴可以弹奏出n个音符，编号为1至n。第i个音符的美妙度为Ai，其中Ai可正可负。 一个“超级和弦”由若干个编号连续的音符组成，包含的音符个数不少于L且不多于R。我们定义超级和弦的美妙度为其包含的所有音符的美妙度之和。两个超级和 弦被认为是相同的，当且仅当这两个超级和弦所包含的音符集合是相同的。 小Z决定创作一首由k个超级和弦组成的乐曲，为了使得乐曲更加动听，小Z要求该乐曲由k个不同的超级和弦组成。我们定义一首乐曲的美妙度为其所包含的所有 超级和弦的美妙度之和。小Z想知道他能够创作出来的乐曲美妙度最大值是多少。

Input

第一行包含四个正整数n, k, L, R。其中n为音符的个数，k为乐曲所包含的超级和弦个数，L和R分别是超级和弦所包含音符个数的下限和上限。 接下来n行，每行包含一个整数Ai，表示按编号从小到大每个音符的美妙度。

Output

只有一个整数，表示乐曲美妙度的最大值。

Sample Input

4 3 2 3

3

2

-6

8

Sample Output

11

Hint

共有5种不同的超级和弦：音符1 ~ 2，美妙度为3 + 2 = 5
音符2 ~ 3，美妙度为2 + (-6) = -4
音符3 ~ 4，美妙度为(-6) + 8 = 2
音符1 ~ 3，美妙度为3 + 2 + (-6) = -1
音符2 ~ 4，美妙度为2 + (-6) + 8 = 4
最优方案为：乐曲由和弦1，和弦3，和弦5组成，美妙度为5 + 2 + 4 = 11。

n,k<=500,000

题目大意

 求长度在[L,R]之间的最大的K个子序列的和

题解

考虑每个左端点i，合法的区间的右端点会在[i+L,i+R]内。

不妨枚举所有左端点，找到以其为左端点，满足题意的最大子序列。

用贪心的思想，显然这些序列中最大的一定是满足题意的，统计后将该序列删除。

但若删除，就意味着以i为左端的序列都被排除，显然会流失掉一些有用的值。

原来的区间[i+L,i+R]，假设在maxi处取得最大值，我们不妨将其裂解成两个区间[i+L,maxi-1]，[maxi+1,i+R]并分别找出在这两个小区间内的最大值，将他们加入待选序列中。

显然维护就直接用堆，堆中记录一个5元组(v,i,l,r,w)分别表示该子序列的值v，左端点的位置i，右端点的区间[l,r]和去最值的右端点的位置w，以v为关键字，建大根堆。

最后一个问题就是查找了，我们不妨预处理出前缀和。已知i～j的序列的值为sum[j]-sum[i-1]，既然左端点固定，那么只要找右端点处的sum最大值即可。用RMQ实现查找区间最大值。

 

 1 #include<map>
 2 #include<cmath>
 3 #include<ctime>
 4 #include<queue>
 5 #include<stack>
 6 #include<cstdio>
 7 #include<string>
 8 #include<vector>
 9 #include<cstring>
10 #include<cstdlib>
11 #include<iostream>
12 #include<algorithm>
13 #define LL long long
14 #define RE register
15 #define IL inline
16  using namespace std;
17 const int N=500000;
18 
19 IL int Max(int a,int b){return a>b ? a:b;}
20 IL int Min(int a,int b){return a<b ? a:b;}
21 
22 struct node
23 {
24     int v,i,l,r,w;
25 
26 }t,tmp;
27 bool operator < (const node &a,const node& b)//重载，建立大根堆
28 {
29     return a.v<b.v;
30 }
31 priority_queue<node>Q;
32 
33 int n,k,l,r,op;
34 LL ans;
35 int f[N+5][20],where[N+5][20];
36 
37 int maxn,maxi;
38 IL void RMQ(int l,int r)//查询最值
39 {
40     int opt=log2(r-l+1);
41     if (f[l][opt]>=f[r-(1<<opt)+1][opt]) maxn=f[l][opt],maxi=where[l][opt];
42     else maxn=f[r-(1<<opt)+1][opt],maxi=where[r-(1<<opt)+1][opt];
43 }
44 
45 int main()
46 {
47     memset(f,128,sizeof(f));
48     f[0][0]=0;
49     scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&l,&r);
50     op=log2(n);
51     for (int i=1;i<=n;i++)
52     {
53         scanf("%d",&f[i][0]);
54         where[i][0]=i;
55         f[i][0]+=f[i-1][0];
56     }
57     for (int t=1;t<=op;t++)
58         for (int i=1;i<=n;i++) if (i+(1<<(t-1))-1>n) break;
59         else//倍增，where记录取最值的位置
60         {
61             if (f[i][t-1]>=f[i+(1<<(t-1))][t-1]) f[i][t]=f[i][t-1],where[i][t]=where[i][t-1];
62             else f[i][t]=f[i+(1<<(t-1))][t-1],where[i][t]=where[i+(1<<(t-1))][t-1];
63         }
64     for (int i=1;i<=n-l+1;i++)
65     {
66         RMQ(i+l-1,i+Min(r-1,n-i));
67         t.v=maxn-f[i-1][0],t.i=i,t.l=i+l-1,t.r=i+Min(r-1,n-i),t.w=maxi;
68         Q.push(t);
69     }
70     while (k--)
71     {
72         t=Q.top();
73         Q.pop();
74         ans+=t.v;
75         if (t.w>t.l)//要判断裂解的区间是否合法
76         {
77             RMQ(t.l,t.w-1);
78             tmp.v=maxn-f[t.i-1][0],tmp.i=t.i,tmp.l=t.l,tmp.r=t.w-1,tmp.w=maxi;
79             Q.push(tmp);
80         }
81         if (t.w<t.r)
82         {
83             RMQ(t.w+1,t.r);
84             tmp.v=maxn-f[t.i-1][0],tmp.i=t.i,tmp.l=t.w+1,tmp.r=t.r,tmp.w=maxi;
85             Q.push(tmp);
86         }
87     }
88     printf("%lld\n",ans);
89     return 0;
90 }