N个不同球取出M个的组合个数求解

Posted 2020-06-26 有目标并为之不懈努力终将收到回报！

Technorati 标签: 组合,概率

从N个不同的球中取出M个，一共有多少种取法？

这个问题是组合数据的基本问题，考虑拿出球是否放回，拿出去的球是否有序，它有4种变体：

1. 不放回，有序；
2. 不放回，无序；
3. 放回，无序；
4. 放回，有序；

对于第一种，取出M个球，第一个有N种可能，第二个N-1种可能，依次类推，M个球共有:

N*(N-1)*(N-2)*..*(N-M+1)，

举个例子：3个同学（A，B，C），从中取出2位同学，那么可能的组合是：

A	B C
B	A C
C	A B

共计6种，刚好是3*（3-2+1）=6种。

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接着看第二种，不放回，无序。由于是无序的，那么上面（无放回有序）的排列显然存在重复，重复的次数正好等于M的全排列。因此它的组合数等于：

N*…*(N-M+1) / (M*(M-1)*…*1)

如果用推理计算的方式，我们可以得到一个递归式子：

f（n，m） = f（n-1，m）+f（n-1，m-1），表示如果包含头元素f(n-1,m-1)种，不包含则为f(n-1,m)种。

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第三种，有放回，有序。由于是有序的，M个球，第一个有N种可能，第二个球也有N种可能，。。。。依次类推，因此共有N*N*。。。*N，共M个N相乘。

举个例子，3个球A，B，C，取出2个，那么可能的组合是：

A	A B C
B	A B C
C	A B C

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第四种，有放回，无序，是这里面最麻烦的一种。最直观的做法，是和“无放回”的对应的，类比它们的做法，在结果（3）上除以一个因子：M的全排列。但是这里略有区别，因为在“无放回”的例子中，取出的球是不同的，因此不同的排列是M的阶乘；但是在本case中，取出的球是有重复的，再除以M！就不对了。举个例子，3个球取2个，有放回，无序：

A	A B C
B	B C
C	C

显然是6种，并不是3*3/2种，后者竟然不是个整数。

那么正确的建模方式是什么呢？

首先：把M次取出球当成是M个标签（相同的标签，因为是无序的），把这些标签贴到任意的球上，都贴在一个球上也没有关系。

然后：把每个球当成是一个盒子，标签当成是盒子里的球

最后：把盒子一个挨着一个排成一列，如下图所示：“-”代表盒子的底部，“|”代表盒子的壁。

|-|-|-|

一种可能的结果是：|o|o|-|,表示A，B被拿出；那么|oo||-|则表示A被拿出2次；

更一般的，可以得出不同的组合数等于：内壁的个数（N-1）+标签个数（M) 个位置中选出M个用于标签。这显然是无放回无序的问题，也就是C（N-1+M，M）。

验算一下，设N=3，M=2，则C（4,2）=6。和结果一致。