并查集

Posted 2020-09-29 GGBeng

一、问题引入

原题：杭电hdu1232畅通工程 

题意：首先在地图上给你若干个城镇，这些城镇都可以看作点，然后告诉你哪些对城镇之间是有道路直接相连的。最后要解决的是整幅图的连通性问题。比如随意给你两个点，让你判断它们是否连通，或者问你整幅图一共有几个连通分支，也就是被分成了几个互相独立的块。像畅通工程这题，问还需要修几条路，实质就是求有几个连通分支。如果是1个连通分支，说明整幅图上的点都连起来了，不用再修路了；如果是2个连通分支，则只要再修1条路，从两个分支中各选一个点，把它们连起来，那么所有的点都是连起来的了；如果是3个连通分支，则只要再修两条路……

说明：输入4 2   1 3   4 3。即一共有4个点，2条路。下面两行告诉你，1、3之间有条路，4、3之间有条路。那么整幅图就被分成了1-3-4和2两部分。只要再加一条路，把2和其他任意一个点连起来，畅通工程就实现了，那么这个这组数据的输出结果就是1。好了，现在编程实现这个功能吧，城镇有几百个，路有不知道多少条，而且可能有回路。 这可如何是好？ 我以前也不会呀，自从用了并查集之后，嗨，效果还真好！

 

二、故事描述

并查集由一个整数型的数组和两个函数构成。数组pre[]记录了每个点的前导点是什么，函数find是查找，函数join是合并。

话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？ 我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。 但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？” 这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。　　

下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000];  这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。 find这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过了（路径压缩算法先不论，后面再说）。

int find(int x)                        //查找x的掌门
{
    int r=x;                           //委托 r 去找掌门
    while(pre[r] != r)                 //如果r的上级不是r自己（也就是说找到的大侠他不是掌门 = =）
    	r = pre[r] ;                   // r 接着找他的上级，直到找到掌门为止。
    return  r ;                        //掌门驾到~~~
}

再来看看join函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个pre[]数组，该如何实现呢？ 还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”抗议无效，上天安排的，最大。反正谁加入谁效果是一样的，我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧？　　

void join(int x,int y)                     //我想让虚竹和周芷若做朋友
{
    int fx=find(x), fy=find(y);             //虚竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是灭绝
    if(fx != fy)                             //玄慈和灭绝显然不是同一个人
    	pre[fx]=fy;                       //方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦
}

再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么样，我也完全无法预计，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是记己人，西礼西礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位同学请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起直接拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻环。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码，看得懂很好，看不懂也没关系，直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。

 

三、算法描述

关键特征：

①用集合中的某个元素来代表这个集合，该元素称为集合的代表元；

②一个集合内的所有元素组织成以代表元为根的树形结构；

③对于每一个元素 pre[x]指向x在树形结构上的父亲节点。如果x是根节点，则令pre[x] = x；

④对于查找操作，假设需要确定x所在的的集合，也就是确定集合的代表元。可以沿着pre[x]不断在树形结构中向上移动，直到到达根节点。

判断两个元素是否属于同一集合，只需要看他们的代表元是否相同即可。

路径压缩：  

为了加快查找速度，查找时将x到根节点路径上的所有点的pre（上级）设为根节点，该优化方法称为压缩路径。使用该优化后，平均复杂度可视为Ackerman函数的反函数，实际应用中可粗略认为其是一个常数。

用途：

1、维护无向图的连通性。支持判断两个点是否在同一连通块内，和判断增加一条边是否会产生环。

2、用在求解最小生成树的Kruskal算法里。

一般来说，一个并查集对应三个操作：初始化+查找根结点函数+合并集合函数

【初始化】

包括对所有单个的数据建立一个单独的集合（即根据题目的意思自己建立的最多可能有的集合，为下面的合并查找操作提供操作对象）。

在每一个单个的集合里面，有三个东西。

①集合所代表的数据（这个初始值根据需要自己定义，不固定） ；

②这个集合的层次通常用rank表示（一般来说，初始化的工作之一就是将每一个集合里的rank置为1）；

③这个集合的类别pre（其实就是一个指针，用来指示这个集合属于那一类，合并过后的集合，他们的pre指向的最终值一定是相同的） （有的简单题里面集合的数据就是这个集合的标号，也就是说只包含2和3，1省略了）。

初始化的时候，每一个集合的pre都是这个集合自己的标号。没有跟它同类的集合，那么这个集合的源头只能是自己了。

最简单的集合就只含有这三个东西了，当然，复杂的集合就是把3指针这一项添加内容，如PKU食物链那题，我们还可以添加enemy指针，表示这个物种集合的天敌集合；food指针，表示这个物种集合的食物集合。随着指针的增加，并查集操作起来也变得复杂，题目也就显得更难了。

数组表示法

设置很多相同大小的数组，如：

int pre[max];	//集合index的类别，或者用parent表示 
int rank[max];	//集合index的层次，通常初始化为0 
int data[max];	//集合index的数据类型  
//初始化集合 
void Make_pre(int i) 
{     
	pre[i]=i;	//一个集合的pre都是这个集合自己的标号。没有跟它同类的集合，那么这个集合的源头只能是自己了。  
	rank[i]=0; 
}

【查找函数】

就是找到pre指针的源头，可以把函数命名为find_pre，如果集合的pre等于集合的编号（即还没有被合并或者没有同类），那么自然返回自身编号。 如果不同（即经过合并操作后指针指向了源头（合并后选出的rank高的集合））那么就可以调用递归函数，如下面的代码：

//查找集合i（一个元素是一个集合）的源头（递归实现）
int Find_pre(int i)
{ 
    //如果集合i的父亲是自己，说明自己就是源头，返回自己的标号
   if(pre[i]==i)
       return pre[i];
    //否则查找集合i的父亲的源头
    return  Find_pre(pre[i]);        
}

【合并集合函数】

这就是所谓并查集的并了。至于怎么知道两个集合是可以合并的，那就是题目的条件了。先看代码：

void Union(int i,int j)
{
    i=Find_pre(i);
    j=Find_pre(j);
    if(i==j) return ;
    if(rank[i]>rank[j]) pre[j]=i;
    else
    {
        if(rank[i]==rank[j]) rank[j]++;   
        pre[i]=j;
    }
}

 

四、代码实现

#define N 105
int pre[N];		//每个结点 
int rank[N]; 	//树的高度 
//初始化
int init(int n)		//对n个结点初始化 
{
	for(int i = 0; i < n; i++){
		pre[i] = i;		//每个结点的上级都是自己 
		rank[i] = 1;	//每个结点构成的树的高度为1 
	} 
}

int find_pre(int x)		//查找结点x的根结点 
{
	if(pre[x] == x){		//递归出口：x的上级为x本身，即x为根结点 
		return x;		
	}
	return find_pre(pre[x]);	//递归查找 
} 

//改进查找算法：完成路径压缩，将x的上级直接变为根结点，那么树的高度就会大大降低 
int find_pre(int x)		//查找结点x的根结点 
{
	if(pre[x] == x){		//递归出口：x的上级为x本身，即x为根结点 
		return x;		
	}
	return pre[x] = find_pre(pre[x]);	//递归查找  此代码相当于 先找到根结点rootx，然后pre[x]=rootx 
} 


bool is_same(int x, int y)		//判断两个结点是否连通 
{
	return find_pre(x) == find_pre(y);	//判断两个结点的根结点（亦称代表元）是否相同 
}

void unite(int x,int y)
{
	int rootx, rooty;
	rootx = find_pre(x);
	rooty = find_pre(y);
	if(rootx == rooty){
		return ;
	}
	if(rank(rootx) > rank(rooty)){
		pre[rooty] = rootx;			//令y的根结点的上级为rootx 
	}
	else{
		if(rank(rootx) == rank(rooty)){
			rank(rooty)++;
		}
		pre[rootx] = rooty;
	}
} 

 

后记：写到这里，并查集只是入了门，还有一些知识点在下篇文章——并查集（进阶）中讲解。