2017 UESTC Training for Dynamic Programming

Posted 2020-09-29 掉血菜鸡煮熟中

2017 UESTC Training for Dynamic Programming

A    思维， 或 dp， 很有意思

方法1： 

构造法：蛇形安排赛程表
算法复杂度：O(N^2)
将1-N排成两竖列，每一轮同一行的为对手
保持1的位置不变，其他位置按顺（逆）时方向依次旋转
1    6          1    2          1    3          1    4          1    5      
2    5          3    6          4    2          5    3          6    4      
3    4          4    5          5    6          6    2          2    3

1             N
2           N-1
3           N-2
.              .
.              .
.              .
N/2    N/2+1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define rep(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi  first
#define se  second
typedef long long ll;
const int N = 200005;

int n, a[N];
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    rep(i,2,n) a[i]=i;
    rep(i,n+1,2*n-1) a[i]=a[i-(n-1)];
    rep(i,2*n,3*n-2) a[i]=a[i-(n-1)];
    rep(i,n+1,2*n-1)
    {
        printf("1 %d ", a[i]);
        rep(ca,1,(n-2)/2)
        {
            printf("%d %d ", a[i-ca], a[i+ca]);
        }
        puts("");
    }

    return 0;
}

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方法2：

 DP做法
算法复杂度：O(N^3)
如果我们知道4支队伍的赛程表，就可以推出8支队伍的赛程表
1-2 3-4
1-3 2-4
1-4 2-3
第一部分：将8支队伍分成两组进行组内对抗
1-2 3-4        5-6 7-8
1-3 2-4        5-7 6-8
1-4 2-3        5-8 6-7
第二部分：两组队伍进行组间对抗
1-5 2-6 3-7 4-8
1-6 2-7 3-8 4-5
1-7 2-8 3-5 4-6
1-8 2-5 3-6 4-7
所以，我们如果能知道N（N为偶数）支球队的赛程表，就可以推出2*N支球队的赛程表
如果N为奇数，N支球队的赛程表和2*N支球队的赛程表该怎么推呢？
N为奇数的话，赛程表也得进行N轮，每轮会有一支球队轮空
比如说N=3（可假想N=4，多一个对手0，与0对阵算作轮空）
第一轮：1-2    3（轮空）
第二轮：1-3    2（轮空）
第三轮：2-3    1（轮空）
我们知道了三支球队的赛程表，六支球队的赛程表该这么转移
6支球队分成两组 先进行组内对抗
1-2     3（轮空）    4-5     6（轮空）
1-3     2（轮空）    4-6     5（轮空）
2-3     1（轮空）    5-6     4（轮空）
但是，我们不允许两支球队轮空，就得把分别在组内对抗按道理应轮空的两支球队对阵
1-2 4-5 3-6
1-3 4-6 2-5
2-3 5-6 1-4
再进行组间对抗
1-4 2-5 3-6    （这里的对阵在组内对抗进行过了，应去掉）
1-5 2-6 3-4
1-6 2-4 3-5

dp解法待补

D    01、完全 混合背包   可做板子

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define rep(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi  first
#define se  second
typedef long long ll;
const int N = 20005;

int t[N], a[N], b[N];

int n, volume, dp[N];
//memset(dp, t, sizeof(dp));  dp[0] = 0;  //恰好装满:t=128，最大:t=0
void ZeroonePack(int wi, int vi)
{
    for(int i=volume; i>=vi; --i)
        dp[i] = max(dp[i], dp[i-vi]+wi);
}
void CompletePack(int wi, int vi)
{
    for(int i=vi; i<=volume; ++i)
        dp[i] = max(dp[i], dp[i-vi]+wi);
}
void MultiplePack(int wi, int vi, int mi)
{
    if(mi*vi>volume) { CompletePack(wi, vi); return ; }
    for(int i=1; i<mi; mi-=i, i<<=1) ZeroonePack(wi*i, vi*i);
    ZeroonePack(wi*mi, vi*mi);
}

int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &volume);
    rep(i,1,n) scanf("%d %d %d", &t[i], &a[i], &b[i]);
    mes(dp, 0);
    rep(i,1,n)
    {
        if(t[i]==1) CompletePack(a[i], b[i]);
        else ZeroonePack(a[i], b[i]);
        //MultiplePack(a[i], b[i], t[i]==1 ? 1e4+10 : 1);
    }
    printf("%d\n", dp[volume]);

    return 0;
}

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F      递推dp，水题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define rep(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi  first
#define se  second
typedef long long ll;
const int N = 1005;

int n, m, a[N][N], dp[N][N];
bool check(int x, int y)
{
    return (x>0 && y>0);
}
int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &m);
    rep(i,1,n) rep(j,1,m)
        scanf("%d", &a[i][j]), dp[i][j]=-INF;
    dp[1][1]=a[1][1];
    int ans=-INF;
    rep(i,1,n) rep(j,1,m)
    {
        if(check(i-1, j) && dp[i-1][j]>0) dp[i][j]=max(dp[i][j], dp[i-1][j]+a[i][j]);
        if(check(i, j-1) && dp[i][j-1]>0) dp[i][j]=max(dp[i][j], dp[i][j-1]+a[i][j]);
        if(check(i-1, j-2) && dp[i-1][j-2]>0) dp[i][j]=max(dp[i][j], dp[i-1][j-2]+a[i][j]);
        if(check(i-2, j-1) && dp[i-2][j-1]>0) dp[i][j]=max(dp[i][j], dp[i-2][j-1]+a[i][j]);
        ans=max(dp[i][j], ans);
    }
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

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G     最长上升子序列，水，要打印路径，只会O(n^2)的。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define rep(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi  first
#define se  second
typedef long long ll;
const int N = 200005;

int n, a[N], dp[N], path[N], ans[N];
int main()
{
    int T;  scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d", &n);
        rep(i,1,n) scanf("%d", &a[i]);
        rep(i,1,n)
        {
            dp[i]=1, path[i]=0;
            rep(j,1,i-1) if(a[j]<a[i])
            {
                if(dp[i] <= dp[j]+1) {
                    dp[i]=dp[j]+1;
                    path[i]=j;
                }
            }
        }
        int now=1, len=1;
        rep(i,1,n)
            if(len<dp[i]) len=dp[i], now=i;
            else if(len==dp[i] && a[now]>a[i]) now=i;
        printf("%d ", len);
        int k=0;
        while(now!=0) ans[++k]=a[now], now=path[now];
        per(i,k,1) printf("%d ",ans[i]);
        puts("");
    }

    return 0;
}

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L    轮廓线动态规划（插头dp）

题意：给定一个n*m的矩阵，使用1*2的小长方形覆盖矩阵，要求完全覆盖的同时不出现重合，也不允许超出边界，问有多少种可能的覆盖方法,方案数对1e9+7取模 ( 2<=n<=1000, 3<=m<=5 )。

tags： 好难，看了题解。。

方法1 ： 传统方法，以整行整列为状态。

x,y表示当前需要考虑放小长方形的位置,st1,st2分别是当前行和下一行的情况，dp[x][y][st1][st2]表示当前要考虑(x,y)，当前行状态是st1，下一行状态是st2，可以有多少种合法的放置方法。 然后类似于记忆化dp。

状态转移：

if(y+1<=m && !(st1 & (1<<y)) && !(st1 & 1<<(y+1))) //横放，那么(x,y),(x,y+1)两个位置不能已经被覆盖
{
    res=(res+DP(x,y+2,(st1|(1<<(y)|(1<<(y+1)))),st2))%MOD; //如果状态转移合法，接下来就考虑(x,y+2),并且更新st1
}
if(x+1<=n && !(st1 & (1<<y))) //同上，竖放
{
    res=(res+DP(x,y+1,(st1|(1<<y)),(st2|(1<<y))))%MOD; 
}

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define rep(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi  first
#define se  second
typedef long long ll;
const int N = 1005, mod = 1e9+7;

int n, m;
ll  dp[N][7][1<<6][1<<6];
inline ll  DP(int x, int y, int lin1, int lin2)
{
    if(x==n+1)  return 1;
    if(y==m+1)  return DP(x+1, 1, lin2, 0);
    if(dp[x][y][lin1][lin2]) return dp[x][y][lin1][lin2];
    if((lin1>>(y-1))&1) return DP(x, y+1, lin1, lin2);
    ll  res=0;
    if(y+1<=m && !((lin1>>(y-1))&1) && !((lin1>>(y))&1) )
    {
        res += DP(x, y+2, (lin1|(1<<(y-1))|(1<<(y))) , lin2);
        res %= mod;
    }
    if(x+1<=n && !((lin1>>(y-1))&1) && !((lin2>>(y-1))&1) )
    {
        res += DP(x, y+1, (lin1|(1<<(y-1))), (lin2|(1<<(y-1))) );
        res %= mod;
    }
    return dp[x][y][lin1][lin2]=res;
}
int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &m);
    if(n*m&1) puts("0");
    else printf("%lld\n", (DP(1, 1, 0, 0)+mod)%mod);

    return 0;
}

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方法2 ： 插头dp，利用 “窄” 的特点，把参差不齐的 “轮廓线” 作为状态的一部分。

参考大白书 384页

伪代码（模板）：

int dp[2][N], cur = 0;
所有d[0][j]初始化为1;
从小到大枚举每个要算的阶段
{
    cul ^= 1;
    所有dp[cul][j]初始化为0;  //只能在这里这样做，因为现在dp[cul]存着以前某阶段的值
    for 上个阶段的每个结点j
        for j的每个后继结点k
            d[cul][k] += d[1-cul][j];
}

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define rep(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi  first
#define se  second
typedef long long ll;
const int N = 1005, mod = 1e9+7;

int n, m, cur;
ll  dp[2][N];
void update(int a, int b)
{
    if(b&(1<<m)) dp[cur][b^(1<<m)] += dp[cur^1][a]%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &m);
    cur=0;
    rep(i,0,N-1) dp[cur][i]=1;
    rep(i,1,n) rep(j,1,m)  //枚举当前要算的阶段
    {
        cur^=1;
        mes(dp[cur], 0);
        for(int k=0; k<(1<<m); ++k)   //枚举上个阶段的状态
        {
            update(k, k<<1);    //不放
            if(i>1 && !(k&(1<<m-1))) update(k, (k<<1)|(1<<m)|1); //向上放
            if(j>1 && !(k&1)) update(k, (k<<1)|3); //向左放
        }
    }
    printf("%lld\n", (dp[cur][(1<<m)-1]+mod)%mod);

    return 0;
}

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M    多重背包，和D题差不多

N    多位费用完全背包

题意：已知 n个参赛队员，对于第 i个队员，每写一行代码，就会留下 ai个bug。最后一题需要写 m行代码，请安排各个队员写的代码行数（显然要非负），使得整个代码的bug数不超过 b个。然后，在ACM玄学之神的保佑下，这份不超过b个bug的代码就能AC了。问你有多少种不同的安排方案可以写出一份AC代码，要求方案数对mod取模。

tags：

1、dp[i][j][k]，已经考虑了前i个队员，写了j行代码，存在k个Bug的方案数，通过递推顺序，第一维可以直接省略。
2、if (k>=arr[i])   dp[j][k]=(dp[j][k]+dp[j-1][k-arr[i]])%mod;    // 实际含义是dp[i][j][k]=(dp[i-1][j][k]+dp[i][j-1][k-arr[i]])， 这里的递推顺序实际上是一个无穷背包的思想

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define rep(i,a,b) for (int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,b,a) for (int i=b;i>=a;--i)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi  first
#define se  second
typedef long long ll;
const int N = 505;

int n, m, b, mod, a[N];
ll   dp[N][N];
void CompletePack(int ai, int vi)
{
    rep(i,ai,b)  rep(j,vi,m)
    {
        dp[i][j] += dp[i-ai][j-vi];
        dp[i][j] %= mod;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &b, &mod);
    rep(i,1,n)  scanf("%d", &a[i]);
    dp[0][0]=1;
    rep(i,1,n)
    {
        CompletePack(a[i], 1);
    }
    ll  ans=0;
    rep(i,0,b)
        ans = (ans+dp[i][m])%mod;
    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}

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