hdu 5446 lucas+crt+按位乘

Posted 2020-09-29 不搞事情和咸鱼有什么区别

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5446

题意：题目意思很简单，要你求C(n,m)mod p的值 p=p1*p2*...pn;

题解：对于C(n,m)mod p 由于n,m的值很大 我们用lucas定理把n,m的范围缩小。由于模数是由若干个素数的乘积组成，那么对于最终要求的解x，我们可以用中国剩余定理求解。中国剩余定理如下：

设正整数两两互素，则同余方程组

 

                             

 

有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为

 

                               

 

其中，而为模的逆元。

最后说一点，由于数据的范围还是比较大，在乘法求解的过程中，如果用普通的乘法，是会溢出的，这里还要用到按位乘法（具体看代#include <cstdio>#include <iostream>

#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll m[100],a[100];
ll mul(ll a,ll b,ll p)// 按位乘
{
    ll ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=(ret+a)%p;
        b=b>>1;
        a=(a+a)%p;
    }
    return ret;

}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)// 扩展欧几里得
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll temp=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return temp;
}
ll finv(ll a,ll m)// 求逆元
{
    ll x,y;
    ll g=exgcd(a,m,x,y);
    x=(x%m+m)%m;//
    return x;
}
ll c(ll n,ll m,ll p)
{
    if(m > n) return 0;
    ll a,b;
    a=b=1;
    while(m)
    {
        a=(a*n)%p;
        b=b*m%p;
        n--;
        m--;
    }
    return mul(a,finv(b,p),p);
}
ll lucas(ll n,ll m,int p)
{
    if(m==0) return 1;// c(n,0)=1;
    return mul(lucas(n/p,m/p,p),c(n%p,m%p,p),p);// lucas把组合数要求解的范围缩小到了p之内
}

ll crt(int len)
{
    ll sum=0;
    ll M=1;
    for(int i=1;i<=len;i++) M*=m[i];
    for(int i=1;i<=len;i++)
    {
        ll temp=M/m[i];
        sum=(sum+mul(mul(a[i],temp,M),finv(temp,m[i]),M))%M;// 这里有一个数据溢出的问题 对于相乘数据会溢出的问题 用转为二进制的按位乘法
    }
    return sum;
}

void init(ll p)
{
    fac[0]=1;
    fac[1]=1;
    for(ll i=2;i<=p;i++) fac[i]=fac[i]*i%p;
}
int main()
{
    cin.sync_with_stdio(false);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        ll n,mm,k;
        cin>>n>>mm>>k;
        init(k);
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            cin>>m[i];
            a[i]=lucas(n,mm,m[i]);
        }
        cout<<crt(k)<<endl;
    }
    return 0;
}