网络流求最大流算法

Posted 2020-09-29 dancer16

一、网络流的定义：有向图G=(V,E)中，点集中有一源点S，一汇点T。且S入度为0，T出度为0。对于每条边edge，都有一权值函数c，表示其容量，一权值函数f，表示其实际流量。

满足对于任意一条边都有f(edge)<=c(edge)。

二、最大流的定义：在不违背网络流的定义下，S到T的最大流量。

三、増广路的思想。

我们先考虑一个网络流：红色数字表示实际流量，蓝色表示边的容量，黄色表示更优的流量。

这个流从S到T的流量是5，但其显然不是最优的。

这个流比上面那个优，而且事实上，这个流就是当前网络的最大流。

我们将两个图比较，得出下图

我们发现因为这条路径上的每条边流量都加了一。注意到其中有一条A到B的反向边，所以我们寻找这种路径时，应把原图中所有边的剩余流量和已经流量的反向边加进去（退流），当图中不存在这种路径时，此图已成最大流。（顺便提一下，这种路径叫増广路径）。

四、求最大流的算法：

 FF：xyf大神说FF就是每次将源点的压力增加1，找一下増广路，慢点要死。于是直接上EK。

EK：每次找一条増广路，将这条路径上所有的流量增加（不管正向反向，其实这里已经没有流量这个概念了）找到增广路径中最小的△。

上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 1100
#define INF 0x3F3F3F3F
struct note
{
    int to,cap,rev;    
};
vector<note> path[N];
bool used[N];
int n,m;
void make_way(int u,int v,int c)
{
    path[u].push_back((note){v,c,path[v].size()});
    path[v].push_back((note){u,0,path[u].size()-1});
}
int dfs(int s,int t,int f)
{
    if(s==t) return f;
    used[s]=1;
    for(int i=0;i<path[s].size();i++)
    {
        note &tmp=path[s][i];
        if(used[tmp.to]==false&&tmp.cap>0)
        {
            int d=dfs(tmp.to,t,min(f,tmp.cap));
            if(d>0)
            {
                tmp.cap-=d;
                path[tmp.to][tmp.rev].cap+=d;
                return d;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int max_flow(int s,int t)
{
    int flow=0;
    while(1)
    {
        memset(used,0,sizeof(used));
        int f=dfs(s,t,INF);
        if(f==0) return flow;
        flow+=f;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d %d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v,c;
        scanf("%d %d %d",&u,&v,&c);
        make_way(u,v,c);
    }
    printf("%d\\n",max_flow(1,n));
}

 dinic：就是先对图进行分层遍历，然后在分层图中进行dfs搜索，比EK快，10000的随即数据随便过。