初等数学问题解答-6：一道简单的三角方程

Posted 2020-09-29 赵胤数学课

 

本题适合初三以上数学爱好者解答。

 

问题：

设 $a$、$b$、$c$ 及 $x$ 均为实数，并且 $\cos x$ 满足二次方程 $$a\cos^2 x + b\cos x + c = 0.$$ 求作一个使 $\cos(2x)$ 能够满足的二次方程。

在 $a = 4$，$b = 2$，$c = -1$ 时，比较一下这两个方程。

 

解答：

这是第1届国际数学奥林匹克（IMO）的第3题，由匈牙利供题。

本题难度不大，数学程度较好的普通中学生即可解决。

当然需要考虑二倍角公式 $$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1,$$ 即 $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}.$$ 对原方程变形以使用二倍角公式： $$a\cdot\cos^2x + c = -b\cdot\cos x,$$ $$\Rightarrow \left(a\cdot\cos^2x + c\right)^2 = b^2\cdot\cos^2x,$$ $$\Rightarrow a^2\cdot\cos^4x + 2ac\cdot\cos^2x + c^2 = b^2\cdot\cos^2x.$$ 代入二倍角公式：$$a^2\cdot\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 + 2ac\cdot\frac{1 + \cos 2x}{2} + c^2 - b^2\cdot\frac{1 + \cos 2x}{2} = 0,$$ $$\Rightarrow a^2\cdot\cos^2 2x + 2\left(a^2 + 2ac - b^2\right)\cdot \cos 2x + (a + 2c)^2 - 2b^2 = 0.$$ 即为所求方程。

当 $a = 4$，$b = 2$，$c = -1$ 时，两个方程分别为： $$4\cos^2x + 2\cos x -1 = 0,$$ $$16\cos^2 2x + 8\cos 2x - 4 = 0.$$ 即新方程与原方程系数完全相同（此时 $\cos x$ 与 $\cos 2x$ 是同一个二次方程的根）。

把这个问题推广一下：

当 $a$、$b$、$c$ 为何值时，新方程与原方程相同？

考虑对应系数成比例（易知 $a$、$b$、$c$ 均不是零）：$$\frac{a^2}{a} = \frac{2(a^2 + 2ac - b^2)}{b} = \frac{(a + 2c)^2 - 2b^2}{c}.$$ 令 $c = 1$ （即求 $a:b:c$ 的值），$$\frac{a^2}{a} = \frac{2(a^2 + 2a - b^2)}{b} = \frac{(a + 2)^2 - 2b^2}{1}.$$ 可以得到两个方程：$$2a^2 + (4-b)a - 2b^2 = 0$$ 及 $$a^2 + 3a + (4 - 2b^2) = 0.$$ 这两个方程有至少一个公共根。

用第二个方程的 $2$ 倍减去第一个方程可得：$$(b+2)a + 8 - 2b^2 = 0$$ $$\Rightarrow (b+2)a = 2(b+2)(b-2).$$ 若 $b = -2$，则（代入到第二个方程）$$a^2 + 3a - 4 = 0,$$ 即 $a_1 = -4$，$a_2 = 1$，可得 $a:b:c = -4 : -2 : 1$ 或 $a : b : c = 1 : -2 : 1$ 两组解（前者即为原题所求）。

若 $b\ne-2$，则 $a = 2(b-2)$，代入到第二个方程可得：$$4(b-2)^2 + 6(b - 2) + 4 - 2b^2 = 0$$ $$\Rightarrow 2b^2 -10b + 8 = 0$$ $$\Rightarrow b^2 - 5b + 4 = 0.$$ 即 $b_1 = 1$，$b_2 = 4$，可得 $a : b : c = -2 : 1 : 1$ 或 $4 : 4 : 1$ 两组解。

综上，共有 $4$ 种情形：$a : b : c = -4:-2:1$，$1:-2:1$，$-2:1:1$，$4:4:1$.

 

 

 

作者简介：

赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，原北京四中数学竞赛教练员，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。

主要研究方向包括：数学建模（机器学习算法）与数学奥林匹克教育（解题研究与教学法），以第一作者身份发表英文论文5篇。

在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。

 

作者微信：zhaoyin0506