BZOJ1584: [Usaco2009 Mar]Cleaning Up 打扫卫生

Posted 2020-09-29 Blue233333

n<=40000个<=m<=n的数，一段数不和谐（河蟹？？？）度为该段中不同数的个数的平方，求把n个数划成若干段后的最小不和谐度。

好题。首先可以确定是DP，f[i]=min(f[j]+P(j+1,i))，其中P(l,r)表示区间l到r的不同数的个数的平方。n2，过不了。

不过可以发现f是不下降的。证明略。

方法一：观察样例中的f数组，发现只要与在i-1*1，i-2*2，……到i的区间中的数决定了f[i]这一步需不需要+1，于是开sqrt(n)个指针来扫这些区间。i-j*j到i的区间中的个数<j，f[i]就可以不加1。至于统计个数，开个200*40000的数组貌似是没问题的。

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<math.h>
 6 //#include<iostream>
 7 using namespace std;
 8 
 9 int n,m;
10 #define maxn 40011
11 int cnt[205][maxn],a[maxn],pos[maxn],f[maxn];
12 int main()
13 {
14     scanf("%d%d",&n,&m);m=(int)sqrt(n)+1;
15     for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
16     for (int i=1;i<=m;i++) pos[i]=-i*i;
17     f[0]=0;
18     memset(cnt,0,sizeof(cnt));
19     for (int i=1;i<=n;i++)
20     {
21         for (int j=1;j<=m;j++)
22         {
23             if (pos[j]>0)
24             {
25                 cnt[j][a[pos[j]]]--;
26                 if (cnt[j][a[pos[j]]]==0) cnt[j][0]--;
27             }
28             pos[j]++;
29             cnt[j][a[i]]++;
30             if (cnt[j][a[i]]==1) cnt[j][0]++;
31         }
32         bool ok=0;
33         for (int j=1;j<=m;j++)
34             if (pos[j]>0 && cnt[j][0]<=j) ok=1;
35         f[i]=f[i-1]+(!ok);
36     }
37     printf("%d\n",f[n]);
38     return 0;
39 }

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错误！未能理解f[i]不+1的原因，错误地把原因归咎为“a[i]（第i位的数）可以和前面的某个状态合起来一起算”。我们找到的a[i]和前面某个状态合起来算的方案不一定就是最优解，有反例：

10 5
2 3 2 2 4 4 4 2 1 1

正确答案6，错误答案5。

方法二：最后答案不超过40000，所以这个不同个数的平方<=40000，不同个数<=200，也就是说，我们只要用“不同个数<=200的区间”来做P(l,r)。

说人话就是f[i]=min(f[pos[j]-1]+j*j)，其中j<=sqrt(n)，pos[j]表示满足pos[j]到i的区间内不同个数不超过j的最小下标。

如何维护pos[j]呢？首先遇到一个新的数a[i]，我们需要知道a[i]是不是对于pos[j]到i-1的一个新的数，所以需记last[i]表示数值i的最后一个下标，用last[a[i]]和pos[j]比较就可以更新cnt[j]，表示pos[j]到i中实际的不同个数。

然后如何调整pos[j]的左端呢？注意到cnt[j]>j是不合法的，这时候需要将pos[j]右移，直到出现某个last[a[pos[j]]]=pos[j]，也就是把一个数灭绝了。这样均摊的时间在n*sqrt(n)范围内。然后再用pos[j]更新f[i]即可。

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<math.h>
 6 //#include<iostream>
 7 using namespace std;
 8 
 9 int n,m;
10 #define maxn 40011
11 int pos[maxn],last[maxn],cnt[maxn],a[maxn],f[maxn];
12 int main()
13 {
14     scanf("%d%d",&n,&m);m=(int)sqrt(n)+1;
15     for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
16     for (int i=1;i<=m;i++) pos[i]=1;
17     memset(last,0,sizeof(last));
18     memset(cnt,0,sizeof(cnt));
19     for (int i=1;i<=n;i++)
20     {
21         for (int j=1;j<=m;j++) if (last[a[i]]<pos[j]) cnt[j]++;
22         last[a[i]]=i;
23         for (int j=1;j<=m;j++) if (cnt[j]>j)
24         {
25             while (last[a[pos[j]]]!=pos[j]) pos[j]++;
26             pos[j]++;
27             cnt[j]--;
28         }
29         f[i]=n;
30         for (int j=1;j<=m;j++) f[i]=min(f[i],f[pos[j]-1]+j*j);
31     }
32     printf("%d\n",f[n]);
33     return 0;
34 }

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