DFS中的奇偶剪枝学习笔记

Posted 2020-09-29 Angel_Kitty

奇偶剪枝学习笔记

描述

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现假设起点为(sx,sy)，终点为（ex,ey），给定t步恰好走到终点，

s
|
|
|
+	—	—	—	e

如图所示（“|”竖走，“—”横走，“+”转弯），易证abs(ex-sx)+abs(ey-sy)为此问题类中任意情况下，起点到终点的最短步数，记做step，此处step1=8；

s	—	—	—
	—	—	+
|	+
|
+	—	—	—	e

如图，为一般情况下非最短路径的任意走法举例，step2=14；

step2-step1=6，偏移路径为6，偶数（易证）；

结论

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推广之，若 t-[abs(ex-sx)+abs(ey-sy)] 结果为非偶数（奇数），则无法在t步恰好到达；

返回，false；

反之亦反。

原理补充

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鉴于很多同学对奇偶剪枝根本原理的兴趣，所以hj决定再补充一下本词条。

还是以这个为例子吧，现在我把矩阵填满 0 和 1 ^[1] 

0	1	0	1	0
1	0	1	0	1
0	1	0	1	0
1	0	1	0	1
0	1	0	1	0

我们现假设从 0 开始走，则不难证明，

从任意 0 走到任意 1 始终是奇数步；

从任意 0 走到任意 0 始终是偶数步；

引用描述里的“例子”， s 到 e 的最短步数为 t (当然你也可以理解成此时到终点刚好剩余 t 步等等)。

则，我们从 s 到 e 的步数之和(或者说总距离)总可以表示成 sum= t + extra ( extra>=0 )，其中 extra 表示额外的步数。^[2] 

比如“例子”里面的，做例1吧

s	—	—	—
	—	—	+
|	+
|
+	—	—	—	e

此时 t=8，sum=14，所以我们容易得到 extra=6。也就是说按照这个走法，需要在最短的步数上再走额外的 6 步(先不用太在意这些偏移是在什么地方产生的)。

在来一个例2吧，

s	—	—	—
	—	—	+
|	+
|		+	—	e
+	—	—

此时，t=7，sum=15，所以我们也容易得到 extra=8。

根据理科生的天性，由这两个一般性的例子，我们很容易嗅察到 extra 都为偶数。先带着疑惑，

再来看我给的 0 、1 矩阵。

0	1	0	1	0
1	0	1	0	1
0	1	0	1	0
1	0	1	0	1
0	1	0	1	0

设左上角坐标为（1，1），右下角坐标为（5，5）.

那么我们给的例1，

起点 s 的坐标为（1，1），此点为“0”；

终点 e 为（5，5），此点为“0”。

所以t=8，为偶数。

现在我们再倒过来看，从终点(也就是 e )出发，把最短步数 t=8 耗费掉，不妨这样走，

s				+
			+	—
			|
		+	—
		—	—	e

如图所示从 e （5，5）耗费 8 步走到了（1，5）点。

因为是从 0 走偶数步，所以走到的坐标也一定是 0 ，就像这里的（1，5）点是 0 一样。

这是一个递归的过程，首先如果从0开始，目的地也是0，那末其中的最短距离t必然是个偶数，可其中有可能有障碍物或需要绕弯的情况，那末我们就现将最短距离t用于绕弯，从开始的0，走t步不管怎么走都只能到0，而这个0到终点0的最短路径t也必然是偶数，一直递归下去，直到你绕够了到达终点，这中间你额外的步数都是偶数。

注意到，（1，5）点和起点 s （1，1）都是 0，也就是说，这个 extra 必然是偶数！

再看例2，同样从终点 e 开始耗费 t=7 步，

则所到的点一定是 0 (不管她在哪里)，再从这个点回到起点 s ，所用的 extra 也必然是个偶数！

所以无论如何，sum= t + extra ( extra>=0 ) 中的 extra 都是一个偶数

那么我们就可以用公式 t-[abs(ex-sx)+abs(ey-sy)] 计算出extra是否为偶数来判断当前点能否恰好在这么多步到达终点了。

有的同学可能会说以 1 为 起点呢。。其实是一样的啦，自己去捣鼓吧。

核心代码：

ans=t-time-abs(dx-x)-abs(dy-y); 
if(ans<0||ans&1) return;

说了这么多，再总结一下吧！

什么是奇偶剪枝？

把矩阵看成如下形式：
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
从为 0 的格子走一步，必然走向为 1 的格子 。
从为 1 的格子走一步，必然走向为 0 的格子 。
即：
从 0 走向 1 必然是奇数步，从 0 走向 0 必然是偶数步。

所以当遇到从 0 走向 0 但是要求时间是奇数的或者 从 1 走向 0 但是要求时间是偶数的，都可以直接判断不可达！

比如有一地图：

S...
....
....
....
...D

要求从S点到达D点，此时，从S到D的最短距离为s = abs ( dx - sx ) + abs ( dy - sy )。

如果地图中出现了不能经过的障碍物：

S..X
XX.X
...X
.XXX
...D

此时的最短距离s‘ = s + 4，为了绕开障碍，不管偏移几个点，偏移的距离都是最短距离s加上一个偶数距离。

就如同上面说的矩阵，要求你从0走到0，无论你怎么绕，永远都是最短距离(偶数步)加上某个偶数步；要求你从1走到0，永远只能是最短距离(奇数步)加上某个偶数步。

这里我来讲一下搜索中要用到的奇偶剪枝的原理：

 

看张图，没障碍物#时，S到E的最短路长为6，但是当有障碍物时，就要绕行了

看这张图，黑色为最短路径，当他绕行（红色加蓝色部分）时，其中蓝色部分其实还是最短路径部分平移来的，所以多走的步数也就是红色部分

对于红色部分我们可以分为两部分，一部分是远离最短路径的步数，另一部分是回到最短路径的部分，他们一定是对称的，所以多走的步数一定是偶数！！！

所以要是问走x步能否到达e，就算出最短路径长y，如果x-y是偶数就能到达，否则不能到达！