组合数问题

Posted 2020-09-29 Shallow Grey

组合数公式：

计算组合数的递推方法：

C[i, j] := C[i - 1, j] + C[i - 1, j - 1]  (0 < i ≤ j ≤ m ≤ n)

与杨辉三角在形式上一致。

 

代码：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	c[i][1] = i % k; c[i][i] = 1; // 预处理 
}
for (int i = 2; i <= n; i++) 
	for (int j = 2; j <= i - 1; j++) // 递推
		c[i][j] = (c[i - 1][j] % k + c[i - 1][j - 1] % k) % k;

 

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例题：Luogu P2822 组合数问题

题目描述

组合数表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

其中n! = 1 × 2 × · · · × n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足是k的倍数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

输出格式：

t行，每行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例#1：

1 2
3 3

输出样例#1：

1

输入样例#2：

2 5
4 5
6 7

输出样例#2：

0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有是2的倍数。

【子任务】

 

CODES：

 

/* P2822 组合数问题
 * Au: GG
 * C_n^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}
 * 预处理 DP O(n^2) + 统计 O(n)
 */
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 2000 + 3, Nx = 2001;
int n, m, t, k, ans, c[N][N], d[N][N];

int main() {
	scanf("%d%d", &t, &k);
	for (int i = 1; i <= Nx; i++) {
		c[i][1] = i % k; c[i][i] = 1;
	}
	for (int i = 2; i <= Nx; i++) 
		for (int j = 2; j <= i - 1; j++) 
			c[i][j] = (c[i - 1][j] % k + c[i - 1][j - 1] % k) % k;
	for (int i = 1; i <= Nx; i++)
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			if (c[i][j]) d[i][j] = d[i][j - 1];
			else d[i][j] = d[i][j - 1] + 1;
		}
	while (t--) {
		scanf("%d%d", &n, &m);
		ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (i > m) ans += d[i][m]; else ans += d[i][i];
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	
	return 0;
}