福建省历届夏令营 花园

Posted 2020-09-29 kakakakakaka

题目描述

小L有一座环形花园，沿花园的顺时针方向，他把各个花圃编号为1~N(2<=N<=10^15)。他的环形花园每天都会换一个新花样，但他的花园都不外乎一个规则，任意相邻M(2<=M<=5,M<=N)个花圃中有不超过K(1<=K<M)个C形的花圃，其余花圃均为P形的花圃。

例如，N=10,M=5,K=3。则

CCPCPPPPCC 是一种不符合规则的花圃；

CCPPPPCPCP 是一种符合规则的花圃。

请帮小L求出符合规则的花园种数Mod 1000000007

由于请您编写一个程序解决此题。

输入输出格式

输入格式：

一行，三个数N,M,K。

 

输出格式：

花园种数Mod 1000000007

 

输入输出样例

输入样例#1：

【样例输入1】
10 5 3

【样例输入2】
6 2 1

输出样例#1：

【样例输出1】
458

【样例输出2】
18

说明

【数据规模】

40%的数据中，N<=20；

60%的数据中，M=2；

80%的数据中，N<=10^5。

100%的数据中，N<=10^15。

题解：

先讲一讲70分的做法，首先一看数据范围，M<=5，想到从m下手。然后由于它是一个环，想到破环成链，又因为只跟后m位有关系，所以只需将序列拓宽m个单位即可。综合以上几点，可以想到比较暴力的做法，对后m位进行状压，f[i][j]表示当前处理到第i位，后m位的状态位j的方案数。然后预处理出一个v[i][j]表示状态i转移到状态j知否可行，ok[i]表示状态i是否合法。于是状压DP的解法就出来了。70分代码如下：

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<cmath>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<queue>
 8 #include<stack>
 9 #include<ctime>
10 #include<vector>
11 #define mod (1000000007)
12 using namespace std;
13 typedef long long lol;
14 lol n,m,l,ans,f[100010][64],to;
15 bool v[64][64],ok[64];
16 lol gi()
17 {
18     lol ans=0,f=1;
19     char i=getchar();
20     while(i<‘0‘||i>‘9‘){if(i==‘-‘)f=-1;i=getchar();}
21     while(i>=‘0‘&&i<=‘9‘){ans=ans*10+i-‘0‘;i=getchar();}
22     return ans*f;
23 }
24 bool judge(lol a,lol b)
25 {
26     lol x[10],y[10],cnt1=0,cnt2=0,c=a,d=b;
27     for(lol i=1;i<=m;i++){x[i]=a&1;cnt1+=a&1;a>>=1;y[i]=b&1;cnt2+=b&1;b>>=1;}
28     for(lol i=1;i<m;i++)if(x[i]!=y[i+1])return false;
29     return true;
30 }
31 bool pd(lol x)
32 {
33     lol ans=0;
34     while(x){ans+=x&1;x>>=1;}
35     if(ans<=l)return true;
36     else return false;
37 }
38 void dp(int x)
39 {
40     memset(f,0,sizeof(f));
41     f[m][x]=1;
42     for(lol i=m+1;i<=n+m;i++)
43         for(lol j=0;j<=to;j++)
44             for(lol k=0;k<=to;k++)
45                 if(v[j][k])f[i][k]=(f[i][k]+f[i-1][j])%mod;
46     ans=(ans+f[n+m][x])%mod;
47 }
48 int main()
49 {
50     n=gi();m=gi();l=gi();
51     to=(1<<m)-1;
52     for(lol i=0;i<=to;i++)if(pd(i))ok[i]=1;
53     for(lol i=0;i<=to;i++)
54         for(lol j=0;j<=to;j++)
55         if(ok[i]&&ok[j]&&judge(i,j))v[i][j]=1;
56     for(lol i=0;i<=to;i++)if(ok[i])dp(i);
57     printf("%lld\n",ans);
58     return 0;
59 }

很显然的是这份代码的空间复杂度是O(n*2^m)，根据数据范围会爆内存。时间复杂度是O(n*(2^m)^2)很显然也会超时。

那么该怎么办呢？考虑矩阵快速幂优化。（实际上根本不是优化，因为用了矩阵快速幂之后就根本不是DP了）

想想，我们预处理的v数组表示的是不是每一种状态之间的连通性，而根据Floyed矩阵的性质，把这个矩阵n次方后，表示的就是从i状态走n次到j的路径数。那么就可以用快速幂解题了。直接把v数组n次方，最后统计一下ok[i]==1（i状态合法）的情况下v[i][i]的和就可以了。（它是一个环，所最前的状态应该和最后的状态相同）

代码如下：

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<cmath>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<queue>
 8 #include<stack>
 9 #include<ctime>
10 #include<vector>
11 #define mod (1000000007)
12 using namespace std;
13 typedef long long lol;
14 lol n,m,l,ans,f[100010][64],to;
15 bool ok[64];
16 struct matrix
17 {
18     lol a[64][64];
19     matrix(){for(int i=0;i<=to;i++)for(int j=0;j<=to;j++)a[i][j]=0;}
20     matrix(lol b[3][3]){for(int i=0;i<=to;i++)for(int j=0;j<=to;j++)a[i][j]=b[i][j];}
21     friend matrix operator * (const matrix a,const matrix b)
22     {
23         matrix ans;
24         for(int i=0;i<=to;i++)
25             for(int j=0;j<=to;j++)
26                 for(int k=0;k<=to;k++)
27                 ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+(a.a[i][k]%mod)*(b.a[k][j]%mod)%mod)%mod;
28         return ans;
29     }
30 }v,a;
31 lol gi()
32 {
33     lol ans=0,f=1;
34     char i=getchar();
35     while(i<‘0‘||i>‘9‘){if(i==‘-‘)f=-1;i=getchar();}
36     while(i>=‘0‘&&i<=‘9‘){ans=ans*10+i-‘0‘;i=getchar();}
37     return ans*f;
38 }
39 bool judge(lol a,lol b)
40 {
41     lol x[10],y[10],cnt1=0,cnt2=0,c=a,d=b;
42     for(lol i=1;i<=m;i++){x[i]=a&1;cnt1+=a&1;a>>=1;y[i]=b&1;cnt2+=b&1;b>>=1;}
43     for(lol i=1;i<m;i++)if(x[i]!=y[i+1])return false;
44     return true;
45 }
46 bool pd(lol x)
47 {
48     lol ans=0;
49     while(x){ans+=x&1;x>>=1;}
50     if(ans<=l)return true;
51     else return false;
52 }
53 matrix make(matrix s,lol x)
54 {
55     matrix ans=s;
56     x--;
57     while(x)
58     {
59         if(x&1)ans=ans*s;
60         s=s*s;
61         x>>=1;
62     }
63     return ans;
64 }
65 int main()
66 {
67     n=gi();m=gi();l=gi();
68     to=(1<<m)-1;
69     for(lol i=0;i<=to;i++)if(pd(i))ok[i]=1;
70     for(lol i=0;i<=to;i++)
71         for(lol j=0;j<=to;j++)
72         if(ok[i]&&ok[j]&&judge(i,j))v.a[i][j]=1;
73     a=make(v,n);
74     for(lol i=0;i<=to;i++)if(ok[i])ans=(ans+a.a[i][i])%mod;
75     printf("%lld\n",ans);
76     return 0;
77 }